Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 4

Garben

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Unter einer Garbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$ versteht man eine Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$, die die folgenden Eigenschaften erfüllt.

1. Zu jeder offenen Überdeckung ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Elementen ${}s,t\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ mit ${}\rho _{U,U_{i}}(s)=\rho _{U,U_{i}}(t)$ für alle ${}i\in I$ gilt ${}s=t$.
2. Zu jeder offenen Überdeckung ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Elementen ${}s_{i}\in {\mathcal {F}}{\left(U_{i}\right)}$ mit ${}\rho _{U_{i},U_{i}\cap U_{j}}{\left(s_{i}\right)}=\rho _{U_{j},U_{i}\cap U_{j}}{\left(s_{j}\right)}$ für alle ${}i,j\in I$ gibt es ein ${}s\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ mit ${}s_{i}=\rho _{U,U_{i}}(s)$ für alle ${}i\in I$.

Diese Eigenschaften nennt man die Serreschen Bedingungen. Die erste fordert, dass man die Übereinstimmung von Schnitten lokal auf einer offenen Überdeckung überprüfen kann, die zweite fordert, dass zusammenpassende lokale Schnitte von einem globalen Schnitt herkommen. Für die leere Menge ist ${}{\mathcal {F}}{\left(\emptyset \right)}$ einelementig, was mengentheoretisch aus den Eigenschaften folgt, wenn man die Überdeckung der leeren Menge mit der leeren Indexmenge betrachtet. Stellvertretend für viele ähnliche Beispiele zeigen wir, dass die Prägarbe der Schnitte zu ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Garbe auf ${}X$ ist.

Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel 3.12 an, d.h. es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und es sei

$p\colon Y\longrightarrow X$

eine fixierte stetige Abbildung, und es sei

$U\mapsto S(U,Y)={\left\{s:U\rightarrow p^{-1}(U)\mid s{\text{ stetiger Schnitt zu }}p\right\}}$

die Prägarbe der stetigen Schnitte in ${}Y$. Dies ist eine Garbe. Die erste Serresche Bedingung ist erfüllt, da zwei Schnitte übereinstimmen, wenn sie in jedem Punkt ${}P\in U$ den gleichen Wert haben, was bei einer offenen Überdeckung lokal getestet werden kann. Die zweite Serresche Bedingung ist erfüllt, da man zu einer Familie von stetigen verträglichen Schnitten

$s_{i}\colon U_{i}\longrightarrow Y{|}_{U_{i}}$

direkt einen Schnitt

$s\colon U\longrightarrow Y{|}_{U}$

definieren kann, der diese simultan fortsetzt. Die Stetigkeit folgt, da diese lokal getestet werden kann.

Beispiel

Zu einer topologischen Gruppe ${}G$ und einem topologischen Raum ${}X$ ist durch ${}U\mapsto C^{0}(U,G)$ eine Garbe gegeben, die Garbe der stetigen Abbildungen mit Werten in ${}G$. Es handelt sich um eine Garbe von Gruppen. Die Garbeneigenschaften beruhen darauf, dass die Gleichheit von stetigen Abbildungen punktweise getestet werden kann und dass sich stetige Abbildungen, die auf offenen Mengen definiert sind und auf den Durchschnitten übereinstimmen, zu einer globalen stetigen Abbildung fortsetzen.

Lemma

Es sei ${}{\mathcal {F}}$ eine Garbe auf einem topologischen Raum ${}X$. Es seien Schnitte ${}s,t\in {\mathcal {F}}{\left(X\right)}$ gegeben, die ${}s_{P}=t_{P}$ in den Halmen ${}{\mathcal {F}}_{P}$ für alle Punkte ${}P\in X$ erfüllen.

Dann ist ${}s=t$.

Beweis

Aufgrund der Veraussetzung gibt es zu jedem Punkt ${}P\in X$ eine offene Umgebung ${}P\in U_{P}\subseteq X$ derart, dass

${}\rho _{X,U_{P}}(s)=\rho _{X,U_{P}}(t)\,$

ist. Somit ist

${}X=\bigcup _{P\in X}U_{P}\,$

und aus der ersten Garbeneigenschaft folgt ${}s=t$.

$\Box$

Garbenmorpismen

Ein Garbenmorphismus ist einfach ein Prägarbenmorphismus zwischen Garben. Dennoch gibt es einige gewichtige Besonderheiten, die sich auf Surjektivität, Bild, lokaler Isomorphietest beziehen.

Lemma

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Garbenmorphismus.

Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

1. $\varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}{\left(U\right)}\longrightarrow {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$

   ist injektiv für jede offene Menge ${}U\subseteq X$.

2. Die Halmabbildungen

   $\varphi _{P}\colon {\mathcal {F}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {G}}_{P}$

   sind injektiv für alle Punkte ${}P\in X$.

Beweis

Es seien ${}s_{P}$ und ${}t_{P}$ Keime aus ${}{\mathcal {F}}_{P}$ mit ${}\varphi _{P}(s_{P})=\varphi _{P}(t_{P})$. Wir können davon ausgehen, dass beide durch Schnitte ${}s,t\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ auf einer offenen Umgebung ${}U$ von ${}P$ repräsentiert werden. Aufgrund der Gleichheit im Halm zu ${}{\mathcal {G}}$ gibt es eine offene Umgebung ${}P\in U'\subseteq U$ mit ${}\varphi _{U'}(s)=\varphi _{U'}(t)$ in ${}{\mathcal {G}}{\left(U'\right)}$. Aus der Voraussetzung folgt ${}s=t$ in ${}{\mathcal {F}}{\left(U'\right)}$ und damit auch im Halm zu ${}P$.

Zum Beweis der Rückrichtung seien Schnitte ${}s,t\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ mit ${}\varphi (s)=\varphi (t)$ in ${}{\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ gegeben. Dann ist ${}\varphi (s)_{P}=\varphi (t)_{P}$ in jedem Halm ${}{\mathcal {G}}_{P}$ zu ${}P\in U$ und damit nach Voraussetzung (unter Verwendung von Lemma 3.27) auch ${}s_{P}=t_{P}$ in jedem Halm ${}{\mathcal {F}}_{P}$. Aus Lemma 4.4 folgt ${}s=t$.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Garbenmorphismus.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann ein Garbenisomorphismus, wenn für jeden Punkt ${}P\in X$ die Halmabbildung

$\varphi _{P}\colon {\mathcal {F}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {G}}_{P}$

ein Isomorphismus ist.

Beweis

Die Hinrichtung ist trivial. Für die Rückrichtung ist zu zeigen, dass

${\mathcal {F}}{\left(U\right)}\longrightarrow {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$

für jede offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ bijektiv ist. Ohne Einschränkung sei ${}U=X$. Die Injektivität ergibt sich aus Lemma 4.5. Zum Nachweis der Surjektivität sei nun ${}t\in {\mathcal {G}}{\left(X\right)}$ vorgegeben. Zu jedem Punkt ${}P\in X$ gibt es ein eindeutiges

${}s_{P}\in {\mathcal {F}}_{P}\,$

mit

${}\varphi _{P}(s_{P})=t_{P}\,.$

Jedes ${}s_{P}$ wird repräsentiert durch ein

${}r_{P}\in {\mathcal {F}}{\left(U_{P}\right)}\,,$

wobei ${}U_{P}$ eine offene Umgebung von ${}P$ bezeichnet. Dabei hat ${}\varphi (r_{P})$ die Eigenschaft, dass es im Halm ${}{\mathcal {G}}_{P}$ mit ${}t_{P}$ übereinstimmt. Daher gibt es eine eventuell kleinere offene Umgebung ${}P\in V_{P}\subseteq U_{P}$, auf der ${}\varphi {\left(r_{P}\right)}{|}_{V_{P}}=t{|}_{V_{P}}$ gilt. Wir ersetzen ${}U_{P}$ durch ${}V_{P}$ und haben eine offene Überdeckung

${}X=\bigcup _{P\in X}V_{P}\,$

und Schnitte

${}r_{P}\in {\mathcal {F}}{\left(V_{P}\right)}\,,$

die jeweils auf ${}t{|}_{V_{P}}$ abbilden. Wir betrachten zwei Schnitte ${}r_{P}$ und ${}r_{Q}$ auf dem Durchschnitt ${}V_{P}\cap V_{Q}$. Für einen Punkt

${}Z\in V_{P}\cap V_{Q}\,$

ist ${}(r_{P})_{Z}=(r_{Q})_{Z}$, da beide unter der bijektiven Abbildung ${}\varphi _{Z}$ auf ${}t_{Z}$ abgebildet werden. Nach Lemma 4.4 folgt

${}r_{P}{|}_{V_{P}\cap V_{Q}}=r_{Q}{|}_{V_{P}\cap V_{Q}}\,.$

Somit gibt es aufgrund der zweiten Garbeneigenschaft ein globales Element ${}r\in {\mathcal {F}}{\left(X\right)}$ mit

${}r{|}_{V_{P}}=r_{P}\,$

für alle ${}P$. Wegen der ersten Garbeneigenschaft ist ${}\varphi (r)=t$, da dies auf den ${}V_{P}$ gilt.

$\Box$

Diese Aussage gilt weder für Prägarben (man betrachte beispielsweise eine Vergarbung einer Prägarbe) noch ohne die Voraussetzung, dass es überhaupt einen Homomorphismus gibt. Zwei Garben, die halmweise zueinander isomorph sind, müssen nicht isomorph sein. Wichtige Beispiele dazu sind lokal freie Garben, die lokal isomorph zu freien Garben sind, aber im Allgemeinen selbst nicht frei sind.

Es ist auf den ersten Blick sicher überraschend und vielleicht auch enttäuschend, dass sich bei einem Garbenmorphismus die Surjektivität auf der Ebene der offenen Mengen und auf der Halmebene unterscheiden. Was aber zunächst wie ein Defizit aussieht, ist in Wirklichkeit eine Stärke der Garbentheorie, da sich in der globalen Nichtsurjektivität von halmweise surjektiven Morphismen topologische Eigenschaften des zugrunde liegenden Raumes widerspiegeln.

Definition

Ein Garbenmorphismus ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ zwischen Garben auf einem topologischer Raum ${}X$ heißt surjektiv, wenn für jeden Punkt ${}P\in X$ die Halmabbildung

$\varphi _{P}\colon {\mathcal {F}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {G}}_{P}$

surjektiv ist.

Diese Eigenschaft ist deutlich schwächer als die Eigenschaft, dass auf jeder offenen Menge eine surjektive Abbildung vorliegt.

Beispiel

Wir betrachten den stetigen Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t\right),$

also die periodische trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises. Dies induziert einen Garbenmorphismus

$C^{0}(-,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(-,S^{1})$

auf jedem topologischen Raum ${}X$. Einer stetigen reellwertigen Funktion ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ auf ${}U\subseteq X$ wird die Hintereinanderschaltung

$\varphi \circ f\colon U\longrightarrow S^{1}$

zugeordnet. Dieser Garbenmorphismus ist surjektiv, da ${}\varphi$ lokal umkehrbar ist. Er ist aber im Allgemeinen nicht auf jeder offenen Teilmenge surjektiv. Wenn beispielsweise ${}X=S^{1}$ ist, so besitzt die Identität auf ${}S^{1}$ keine stetige Liftung nach ${}\mathbb {R}$

Lemma

Zu Garben ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$

ist die Zuordnung

$U\longmapsto \operatorname {Mor} {\left({\mathcal {F}}{|}_{U},{\mathcal {G}}{|}_{U}\right)}$

selbst eine Garbe.

Beweis

Da ein Garbenmorphismus

$\varphi \colon {\mathcal {F}}{|}_{U}\longrightarrow {\mathcal {G}}{|}_{U}$

eine Abbildung

$\Gamma {\left(V,{\mathcal {F}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(V,{\mathcal {G}}\right)}$

für jede offene Teilmenge ${}V\subseteq U$ beinhaltet, gibt es unmittelbar eine Einschränkung

$\varphi {|}_{V}\colon {\mathcal {F}}{|}_{V}\longrightarrow {\mathcal {G}}{|}_{V}.$

Das bedeutet, dass

$U\longmapsto \operatorname {Mor} {\left({\mathcal {F}}{|}_{U},{\mathcal {G}}{|}_{U}\right)}$

eine Prägarbe ist. Zum Nachweis der Garbeneigenschaften sei

${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

eine offene Überdeckung. Es seien

$\varphi ,\psi \colon {\mathcal {F}}{|}_{U}\longrightarrow {\mathcal {G}}{|}_{U}$

Garbenmorphismen derart, dass die Einschränkungen

${}\varphi _{i}=\varphi {|}_{U_{i}}=\psi {|}_{U_{i}}=\psi _{i}\,$

übereinstimmen. Es sei ${}s\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}$ mit den Einschränkungen ${}s_{i}:=s{|}_{U_{i}}$. Es ist dann

${}\varphi (s_{i})=\psi (s_{i})\,.$

Somit stimmen

${}\varphi (s),\psi (s)\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\,$

lokal überein und damit stimmen sie wegen der Garbeneigenschaft auch direkt überein.

Zum Nachweis der zweiten Garbeneigenschaft seien Garbenmorphismen

$\varphi _{i}\colon {\mathcal {F}}{|}_{U_{i}}\longrightarrow {\mathcal {G}}{|}_{U_{i}}$

gegeben, die die Verträglichkeitsbedingung

${}\varphi _{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}=\varphi _{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\,$

erfüllen. Es ist die Existenz eines Garbenmorphismus

$\varphi \colon {\mathcal {F}}{|}_{U}\longrightarrow {\mathcal {G}}{|}_{U}$

nachzuweisen, dessen Einschränkungen die vorgegebenen ${}\varphi _{i}$ ergibt. Es sei hierzu wieder ${}s\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}$. Sei

${}t_{i}=\varphi _{i}{\left(s{|}_{U_{i}}\right)}\,.$

Wegen

${}{\left(s{|}_{U_{i}}\right)}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}={\left(s{|}_{U_{j}}\right)}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\,$

ist

${}{\begin{aligned}{\left(t_{i}\right)}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}&={\left(\varphi _{i}{\left(s{|}_{U_{i}}\right)}\right)}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\\&={\left(\varphi _{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}{\left(s{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\right)}\right)}\\&={\left(\varphi _{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}{\left(s{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\right)}\right)}\\&={\left(\varphi _{j}{\left(s{|}_{U_{j}}\right)}\right)}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\\&={\left(t_{j}\right)}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\end{aligned}}$

und somit bilden die ${}t_{i}$ eine verträgliche Familie von Schnitten. Daher gibt es eine eindeutig bestimmtes Element ${}t\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$ mit ${}t_{i}=t{|}_{U_{i}}$. Die Festlegung ${}\varphi (s):=t$ ergibt somit eine Abbildung

$\varphi \colon \Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)},$

deren Einschränkungen die vorgegebenen ${}\varphi _{i}$ sind.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes ${}X$ und es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ Garben auf ${}X$. Zu jedem ${}i\in I$ sei ein Garbenmorphismus

$\alpha _{i}\colon {\mathcal {F}}{|}_{U_{i}}\longrightarrow {\mathcal {G}}{|}_{U_{i}}$

gegeben, der

${}\alpha _{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}=\alpha _{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\,$

für alle ${}i,j$ erfüllt.

Dann gibt es einen eindeutigen Garbenmorphismus

$\alpha \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}$

mit ${}\alpha {|}_{U_{i}}=\alpha _{i}$.

Beweis

Dies folgt direkt aus Lemma 4.9.

$\Box$

Korollar

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ Garben auf einem topologischen Raum ${}X$ und es seien

$\alpha ,\beta \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}$

Garbenmorphismen.

Dann ist ${}\alpha =\beta$ genau dann, wenn ${}\alpha _{p}=\beta _{P}$ für jeden Punkt ${}P\in X$ gilt.

Beweis

Dies folgt direkt aus Lemma 4.9 und Lemma 4.4.

$\Box$

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