Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 3

Das Kroneckerprodukt zu Matrizen

${}A=(a_{ij})_{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}\,$

und

${}B=(b_{k\ell })_{1\leq \ell \leq p,\,1\leq k\leq r}\,$

ist durch

$(a_{ij}\cdot b_{k\ell })_{1\leq i\leq m,\,1\leq \ell \leq p;\,1\leq j\leq n,\,1\leq k\leq r}$

gegeben.

Aufgabe *

Berechne das Kroneckerprodukt der beiden Matrizen ${}{\begin{pmatrix}3&-4\\5&-2\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}-2&7\\6&3\end{pmatrix}}$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und

${}A=(a_{ij})_{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}\,$

und

${}B=(b_{k\ell })_{1\leq \ell \leq p,\,1\leq k\leq r}\,$

Matrizen mit den zugehörigen linearen Abbildungen ${}A\colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ bzw. ${}B\colon K^{r}\rightarrow K^{p}$. Zeige, dass das Tensorprodukt dieser linearen Abbildungen bezüglich der Basen ${}e_{j}\otimes e_{k}$, ${}1\leq j\leq n,\,1\leq k\leq r$, von ${}K^{n}\otimes K^{r}$ und ${}e_{i}\otimes e_{\ell }$, ${}1\leq i\leq m,\,1\leq \ell \leq p$, von ${}K^{m}\otimes K^{p}$ durch das Kroneckerprodukt von ${}A$ und ${}B$ beschrieben wird.

Aufgabe

Zeige, dass das Tensorprodukt des Möbiusbandes mit sich selbst ein triviales Geradenbündel ist.

Aufgabe

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ Prägarben auf dem topologischen Raum ${}X$. Zeige, dass durch ${}U\mapsto {\mathcal {F}}{\left(U\right)}\times {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ mit den natürlichen Produktabbildungen eine Prägarbe auf ${}X$ gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und sei ${}{\mathcal {F}}_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Prägarben auf dem topologischen Raum ${}X$. Zeige, dass durch ${}U\mapsto \prod _{i\in I}{{\mathcal {F}}_{i}}{\left(U\right)}$ mit den natürlichen Produktabbildungen eine Prägarbe auf ${}X$ gegeben ist.

Aufgabe

Interpretiere Beispiel 3.8 im Sinne von Beispiel 3.12.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon V\rightarrow X$ ein reelles Vektorbündel vom Rang ${}m$ auf einem topologischen Raum ${}X$. Zeige, dass zu jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$, auf der ${}V$ trivial ist, die zugehörige Prägarbe der stetigen Schnitte isomorph (in welchem Sinn?) zu ${}C^{0}(U,\mathbb {R} )^{m}$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Gruppen ${}(\mathbb {R} ,+)$, ${}(\mathbb {R} \setminus \{0\},\cdot )$, ${}({\mathbb {C} },+)$, ${}({\mathbb {C} }\setminus \{0\},\cdot )$, ${}(\mathbb {R} ^{n},+)$, ${}(S^{1},{\text{ mit der Winkeladdition}})$, die allgemeine lineare Gruppe ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ bzw. ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ topologische Gruppen sind.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine topologische Gruppe und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Zeige, dass auf jedem topologischen Raum ${}X$ die Prägarbe ${}C^{0}(-,H)$ eine Unterprägarbe von ${}C^{0}(-,G)$ ist.

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}G$, die zugleich eine Gruppe ist, für die die Inversenabbildung und die Gruppenverknüpfung differenzierbare Abbildungen sind, heißt (reelle) Lie-Gruppe.

Aufgabe

Zeige, dass die Gruppen ${}(\mathbb {R} ,+)$, ${}(\mathbb {R} \setminus \{0\},\cdot )$, ${}({\mathbb {C} },+)$, ${}({\mathbb {C} }\setminus \{0\},\cdot )$, ${}(\mathbb {R} ^{n},+)$, ${}(S^{1},{\text{ mit der Winkeladdition}})$, die allgemeine lineare Gruppe ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ bzw. ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ Lie-Gruppen sind.

Aufgabe

Zeige, dass das Tangentialbündel auf einer Lie-Gruppe trivial ist.

Tipp: Zeige, dass man den Tangentialraum am neutralen Element in sinnvoller Weise in die anderen Tangentialräume transportieren kann.

Aufgabe

Es sei ${}I$ eine gerichtete Indexmenge und sei ${}M_{i}$, ${}i\in I$, ein gerichtetes System von Mengen. Es sei ${}N$ eine weitere Menge und zu jedem ${}i\in I$ sei eine Abbildung

$\psi _{i}\colon M_{i}\longrightarrow N$

mit der Eigenschaft gegeben, dass ${}\psi _{i}=\psi _{j}\circ \varphi _{ij}$ ist für alle ${}i\preccurlyeq j$ (wobei ${}\varphi _{ij}$ die Abbildungen des Systems bezeichnen). Beweise die universelle Eigenschaft des Kolimes, nämlich, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung

$\psi \colon \operatorname {colim} \,_{i\in I}M_{i}\longrightarrow N$

derart gibt, dass ${}\psi _{i}=\psi \circ j_{i}$ ist, wobei ${}j_{i}:M_{i}\rightarrow \operatorname {colim} \,_{i\in I}M_{i}$ die natürlichen Abbildungen sind.

Zeige ferner, dass falls ${}M_{i}$ eine gerichtetes System von Gruppen und falls ${}N$ ebenfalls eine Gruppe ist und alle ${}\psi _{i}$ Gruppenhomomorphismen sind, dass dann auch ${}\psi$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}I$ eine gerichtete Indexmenge und sei ${}G_{i}$, ${}i\in I$, ein gerichtetes System von kommutativen Gruppen. Zeige, dass der Kolimes eine kommutative Gruppe ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Auf ${}S$ betrachten wir folgende (partielle) Ordnung, und zwar sagen wir ${}f\preccurlyeq g$, falls ${}f$ eine Potenz von ${}g$ teilt. Zeige, dass die kommutativen Ringe

$R_{f},\,f\in S,$

ein gerichtetes System bilden, und dass für den Kolimes

${}\operatorname {colim} _{f\in S}R_{f}=R_{S}\,$

gilt.

Aufgabe

Zeige, dass der Halm des Tangentialbündels einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit in einem Punkt nur von der Dimension der Mannigfaltigkeit (in diesem Punkt) abhängt.

Aufgabe

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ Prägarben auf dem topologischen Raum ${}X$ und ${}{\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}}$ ihre Produktprägarbe. Zeige, dass für den Halm in jeden Punkt ${}P\in X$ die Beziehung

${}{\left({\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}}\right)}_{P}={\mathcal {F}}_{P}\times {\mathcal {G}}_{P}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und seien ${}{\mathcal {F}},{\mathcal {G}},{\mathcal {H}}$ Prägarben auf ${}X$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Identität

   ${\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {F}}$

   ist ein Homomorphismus von Prägarben.

2. Wenn ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ und ${}\psi \colon {\mathcal {G}}\rightarrow {\mathcal {H}}$ Homomorphismen von Prägarben sind, so ist auch die Verknüpfung ${}\psi \circ \varphi$ ein Homomorphismus von Prägarben.
3. Zu einer Unterprägarbe ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ ist die natürliche Inklusion ein Homomorphismus von Prägraben.

Aufgabe

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und sei ${}{\mathcal {F}}_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Prägarben auf dem topologischen Raum ${}X$ mit der Produktprägarbe ${}\prod _{i\in I}{{\mathcal {F}}_{i}}$. Es sei ${}{\mathcal {G}}$ eine weitere Prägarbe auf ${}X$. Zeige, dass ein Prägarbenmorphismus

$\psi \colon {\mathcal {G}}\longrightarrow \prod _{i\in I}{{\mathcal {F}}_{i}}$

das gleiche ist wie eine Familie von Prägarbenmorphismen

$\psi _{i}\colon {\mathcal {G}}\longrightarrow {{\mathcal {F}}_{i}}.$