Kompakte riemannsche Fläche/Divisorenklassengruppe Grad 0/Jacobische Varietät/Abel-Jacobi-Abbildung/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt liegt ein Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {Div} \,(X)_{0}\longrightarrow J(X),\,\sum _{i\in I}P_{i}-\sum _{i\in I}Q_{i}\longmapsto {\left(\omega \mapsto \sum _{i\in I}\int _{P_{i}}^{Q_{i}}\omega \right)},$

vor. Nach Fakt gehört zu jedem Hauptdivisor und jeder globalen holomorphen Differentialform ${}\omega$ der Ausdruck ${}\sum _{i\in I}\int _{P_{i}}^{Q_{i}}\omega$ zur Periodengruppe ${}\operatorname {Per} (\omega )$. Ferner zeigt der Beweis zu Fakt, dass die Zugehörigkeit zur Periodengruppe auf der Existenz von Wegen beruht, die unabhängig von der Differentialform sind. Daher gehört die Auswertung ${}\omega \mapsto \sum _{i\in I}\int _{P_{i}}^{Q_{i}}$ zum Periodengitter, siehe Aufgabe. Deshalb faktorisiert die Abel-Jacobi-Abbildung durch die Restklassengruppe modulo der Hauptdivisoren, also durch die Divisorenklassengruppe.

Zur bewiesenen Aussage