Komplexe Ebene/Weg/Windungszahl/Punktabhängigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist ${}\gamma ([0,1])$ kompakt nach Fakt und daher abgeschlossen nach Fakt, somit ist ${}U$ offen. Es sei ${}P\in U$. Wir zeigen

${}\operatorname {ind} _{\gamma }(P)=\operatorname {ind} _{\gamma }(Q)\,$

für alle Punkte ${}Q\in V$ aus einer offenen Umgebung ${}V$ von ${}P$. In ${}{\mathbb {C} }\setminus \{P\}$ ist ${}\gamma$ nach Fakt homotop zu einem mehrfach durchlaufenen Standardweg ${}\delta$ um ${}P$ und nach Fakt  (1) zählt die Windungszahl die Anzahl der Umläufe (mit Orientierung). Es sei

$H\colon [0,1]\times [0,1]\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{P\}$

eine Homotopie zwischen ${}\gamma$ und ${}\delta$. Da ${}H$ stetig und ${}[0,1]\times [0,1]$ kompakt ist, ist auch

${}H([0,1]\times [0,1])\subseteq {\mathbb {C} }\setminus \{P\}\,$

kompakt und damit (in ${\mathbb {C} }\setminus \{P\}$ und auch) in ${}{\mathbb {C} }$ abgeschlossen. Es sei ${}V={\mathbb {C} }\setminus H([0,1]\times [0,1])$, diese offene Menge ist insbesondere disjunkt zu ${}\gamma ([0,1])$. Für ${}Q\in V$ kann man ${}H$ auch als eine Homotopie zwischen ${}\gamma$ und ${}\delta$ innerhalb von ${}{\mathbb {C} }\setminus \{Q\}$ auffassen. Damit ist unter Verwendung von Fakt

${}\operatorname {ind} _{\gamma }(P)=\operatorname {ind} _{\delta }(P)=\operatorname {ind} _{\delta }(Q)=\operatorname {ind} _{\gamma }(Q)\,.$

Zur bewiesenen Aussage