Komplexe Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktionen/Textabschnitt

Definition

Auf einer komplexen Mannigfaltigkeit ${}M$ bezeichnet man mit

${}{\mathcal {E}}{\left(M\right)}=C^{\infty }(M,{\mathbb {C} })={\left\{f:M\rightarrow {\mathbb {C} }\mid f{\text{ unendlich oft reell differenzierbar}}\right\}}\,$

die Menge aller komplexwertigen Funktionen auf ${}M$, die im reellen Sinn unendlich oft differenzierbar sind.

Da die Übergangsabbildungen bei einem Kartenwechsel biholomorph sind, sind diese auch ${}C^{\infty }$-diffeomorph und daher ist die unendliche Differenzierbarkeit von reellwertigen und komplexwertigen Funktionen wohldefiniert.

Lemma

Es sei ${}M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit. Dann gelten die folgenden Aussagen.

1. Die Zuordnung ${}U\mapsto {\mathcal {E}}{\left(U\right)}$ zu ${}U\subseteq M$ offen ist eine Garbe von kommutativen Ringen auf ${}M$.
2. Die Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{M}$ ist eine Untergarbe von ${}{\mathcal {E}}$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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