Komplexe Mannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein topologischer Hausdorff-Raum ${}M$ zusammen mit einer offenen Überdeckung ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Homöomorphismen

$\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$

mit ${}V_{i}\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ derart, dass die Übergangsabbildungen

$\alpha _{j}\circ (\alpha _{i})^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$

Diffeomorphismen sind, heißt komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$. Die Menge der Karten ${}(U_{i},\alpha _{i})$, ${}i\in I$, nennt man auch den Atlas der Mannigfaltigkeit.

Lokal sieht also eine komplexe Mannigfaltigkeit wie eine offene Teilmenge im ${}{\mathbb {C} }^{n}$ aus. Eine komplexe Mannigfaltigkeit ist insbesondere eine reelle Mannigfaltigkeit der reellen Dimension ${}2n$. Hiervon gilt nicht die Umkehrung, da entscheidend bei einer komplexen Mannigfaltigkeit ist, dass die Übergangsabbildungen komplex-differenzierbar ist. Dies ist eine deutlich stärkere Forderung, als dass die Übergangsabbildungen reell-differenzierbar sind.

Beispiel

Auf der reell zweidimensionalen Sphäre ${}S^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ erhält man über die stereographischen Projektionen (${}N$ und ${}S$ steht für Nordpol und Südpol)

$\alpha \colon S^{2}\setminus \{N\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$

und

$\beta \colon S^{2}\setminus \{S\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$

die Übergangsabbildung

${\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,z\longmapsto z^{-1},$

die komplex differenzierbar ist und reell durch ${}(x,y)\mapsto \left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},\,{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}\right)$ gegeben ist (bei den in Beispiel beschriebenen Projektionen muss man einmal komplex konjugieren, damit alles passt). Dadurch ist auf der Kugeloberfläche die Struktur einer eindimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit gegeben. Diese heißt die komplex-projektive Gerade ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ oder auch die riemannsche Zahlenkugel. Die Überdeckung mit den beiden zu ${}{\mathbb {C} }$ biholomorphen offenen Mengen nennt man auch die affine Standardüberdeckung, siehe auch Fakt. Wenn man eine dieser offenen Mengen fixiert hat, so nennt man den einzigen fehlenden Punkt auch den unendlich fernen Punkt. In der anderen offenen Menge ist dieser der Nullpunkt.