Komplexe Potenzreihen/Rechenregeln/Textabschnitt

Satz

Es sei

${}f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,$

eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius ${}R>0$ und sei ${}b\in U{\left(a,R\right)}$.

Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe

${}h=\sum _{i=0}^{\infty }d_{i}(z-b)^{i}\,$

mit Entwicklungspunkt ${}b$ und mit einem Konvergenzradius ${}s\geq R-\vert {a-b}\vert >0$ derart, dass die durch diese beiden Potenzreihen dargestellten Funktionen auf ${}U{\left(a,R\right)}\cap U{\left(b,s\right)}$ übereinstimmen.

Die Koeffizienten von ${}h$ sind

${}d_{i}=\sum _{n=i}^{\infty }{\binom {n}{i}}c_{n}(b-a)^{n-i}\,$

und insbesondere ist

${}d_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }nc_{n}(b-a)^{n-1}\,.$

Beweis

Zur Notationsvereinfachung sei ${}a=0$, ${}b\in U{\left(0,R\right)}$ und ${}z\in U{\left(b,R-\vert {b}\vert \right)}$. Wir betrachten die Familie

$x_{ni}=c_{n}{\binom {n}{i}}(z-b)^{i}b^{n-i},\,n\in \mathbb {N} ,\,i\in \{0,1,\ldots ,n\}.$

 Wir zeigen zuerst, dass diese Familie

summierbar ist. Dies folgt aus der Abschätzung (unter Verwendung von Aufgabe)

${}{\begin{aligned}\sum _{n=0,\ldots ,N,\,i=0,\ldots ,n}\vert {c_{n}{\binom {n}{i}}(z-b)^{i}b^{n-i}}\vert &\leq \sum _{n=0}^{N}\vert {c_{n}}\vert {\left(\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\vert {z-b}\vert ^{i}\vert {b}\vert ^{n-i}\right)}\\&=\sum _{n=0}^{N}\vert {c_{n}}\vert {\left(\vert {z-b}\vert +\vert {b}\vert \right)}^{n}\end{aligned}}$

und daraus, dass wegen ${}\vert {z-b}\vert +\vert {b}\vert <R$ gemäß Fakt die rechte Seite für beliebiges ${}N$ beschränkt ist.
Wegen der Summierbarkeit gelten aufgrund des großen Umordnungssatzes die Gleichungen

${}{\begin{aligned}f(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}((z-b)+b)^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}{\left(\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}(z-b)^{i}b^{n-i}\right)}\\&=\sum _{n\in \mathbb {N} ,\,i=0,\ldots ,n}c_{n}{\binom {n}{i}}(z-b)^{i}b^{n-i}\\&=\sum _{i=0}^{\infty }{\left(\sum _{n=i}^{\infty }{\binom {n}{i}}c_{n}b^{n-i}\right)}(z-b)^{i}\\&=\sum _{i=0}^{\infty }d_{i}(z-b)^{i}.\end{aligned}}$

$\Box$