Es sei
eine
komplexe Zahl.
Dann erfüllt die komplexe Zahl
-
mit dem Vorzeichen
-
die Eigenschaft
,
siehe
Beispiel
bzw.
Aufgabe
und
Aufgabe.
Wir betrachten die durch die erste Vorschrift gegebene Funktion auf der durch die Bedingung
gegebenen offenen Teilmenge, also auf der
oberen Halbebene.
Es ist also
-
Wegen
sind die Radikanden stets positiv und daher ist reell stetig differenzierbar.
Für die partiellen Ableitungen von
-
und
-
gilt
Daher sind die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt und somit ist komplex differenzierbar. Als Umkehrabbildung zu einer komplex differenzierbaren Abbildung ist das auch klar, zumindest auf dem Ort, wo eine Umkehrabbildung vorliegt. Nach
Aufgabe
und
Aufgabe
liegt eine Bijektion zwischen und dem offenen Quadranten
vor.