Komplexe Zahl/Quadratwurzel/Umkehrabbildung/Beispiel

Es sei eine komplexe Zahl. Dann erfüllt die komplexe Zahl

mit dem Vorzeichen

die Eigenschaft , siehe Beispiel bzw. Aufgabe und Aufgabe.

Wir betrachten die durch die erste Vorschrift gegebene Funktion auf der durch die Bedingung gegebenen offenen Teilmenge, also auf der oberen Halbebene. Es ist also

Wegen sind die Radikanden stets positiv und daher ist reell stetig differenzierbar.

Für die partiellen Ableitungen von

und

gilt

Daher sind die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt und somit ist komplex differenzierbar. Als Umkehrabbildung zu einer komplex differenzierbaren Abbildung ist das auch klar, zumindest auf dem Ort, wo eine Umkehrabbildung vorliegt. Nach Aufgabe und Aufgabe liegt eine Bijektion zwischen und dem offenen Quadranten vor.