Komplexe Zahlen/Exponentialfunktion/Eulersche Formel/Zusammenfassung/Textabschnitt

Wir erläutern kurz und ohne Beweise einen weiteren Zugang zur Multiplikation von komplexen Zahlen. Zunächst kann man innerhalb der komplexen Zahlen wie bei den reellen Zahlen von konvergenten Folgen sprechen, die Definition überträgt sich unmittelbar, wobei der komplexe Betrag den reellen Betrag ersetzt. In Fakt haben wir erwähnt, dass die reelle Exponentialfunktion ${}e^{x}$ durch

${}e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\,$

beschrieben werden kann, wobei die unendliche Summe für jedes ${}x$ konvergiert. Diese Konvergenz kann man auch für komplexe Zahlen nachweisen und gelangt so zur komplexen Exponentialfunktion.

Definition

Die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}},$

heißt (komplexe) Exponentialfunktion.

Auch die Funktionalgleichung gilt nach wie vor.

Satz

Für komplexe Zahlen ${}z,w\in {\mathbb {C} }$ gilt

${}\exp \left(z+w\right)=\exp z\cdot \exp w\,.$

Überraschend ist hingegen, dass sich im Komplexen eine Beziehung zwischen der komplexen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus ergibt.

Satz

Für ${}z=x+{\mathrm {i} }y$ ist

${}\exp z=(\exp x)\exp {\mathrm {i} }y=(\exp x)(\cos y+{\mathrm {i} }\sin y)\,.$

Speziell gilt die eulersche Formel

${}\exp {\mathrm {i} }y=\cos y+{\mathrm {i} }\sin y\,.$

Spezialfälle davon sind

${}\exp 2\pi {\mathrm {i} }=1\,$

und

${}\exp \pi {\mathrm {i} }=-1\,,$

was man auch gern als

${}1+\exp \pi {\mathrm {i} }=0\,$

schreibt.

Satz

Zu jeder komplexen Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$, ${}z\neq 0$,

gibt es eine eindeutige Darstellung

${}z=r\cdot \exp({\mathrm {i} }\varphi )=re^{{\mathrm {i} }\varphi }=r(\cos \varphi +{\mathrm {i} }\sin \varphi )\,$

mit ${}r\in \mathbb {R} _{+}$ und mit ${}\varphi \in [0,2\pi [$.

Dies ist anschaulich klar. ${}\varphi$ ist der Winkel der durch ${}z$ und dem Nullpunkt definierten Halbgerade, und ${}e^{{\mathrm {i} }\varphi }$ ist der zugehörige Punkt auf dem Einheitskreis.

Korollar

Für zwei komplexe Zahlen ${}z_{1}=r_{1}e^{{\mathrm {i} }\varphi _{1}}$ und ${}z_{2}=r_{2}e^{{\mathrm {i} }\varphi _{2}}$ ist

${}z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}e^{{\mathrm {i} }(\varphi _{1}+\varphi _{2})}\,.$

Zwei komplexe Zahlen ${}\neq 0$ werden also miteinander multipliziert, indem man ihre Beträge in ${}\mathbb {R} _{+}$ multipliziert und ihre Argumente (Winkel) addiert.