Komplexe Zahlen/Gitter/Quotient/Komplexe Mannigfaltigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Zu jedem Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }/\Gamma$ und einem Urbildpunkt ${}Q\in {\mathbb {C} }$ gibt es eine offene Ballumgebung ${}Q\in U{\left(Q,\epsilon \right)}$, auf der die Einschränkung einen Homöomorphismus

$\pi \colon U{\left(Q,\epsilon \right)}\longrightarrow V$

mit einer offenen Umgebung ${}V$ von ${}P$ induziert. Man wähle einfach ${}\epsilon$ kleiner als die Hälfte des minimalen Abstandes im Gitter. Dabei sind die ${}U{\left(Q,\epsilon \right)}$ zu verschiedenen Urbildpunkten von ${}P$ zueinander disjunkt und untereinander durch eine Verschiebung mit einem Gittervektor homöomorph. Damit ist die Abbildung ${}\pi \colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma$ eine Überlagerung mit der Faser ${}\Gamma$. Man erhält auf ${}V$ eine komplexe Karte, indem man einen Homöomorphismus zu einem ${}U{\left(Q,\epsilon \right)}$ auswählt. Zu zwei solchen offenen Mengen ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ (zu Punkten ${}P_{1},P_{2}\in {\mathbb {C} }/\Gamma$) seien ${}B_{1},B_{2}\subseteq {\mathbb {C} }$ offene Bälle derart, dass die Einschränkungen ${}\pi _{1}\colon B_{1}\rightarrow V_{1}$ und ${}\pi _{2}\colon B_{2}\rightarrow V_{2}$ Homöomorphismen sind. Es sei ${}W=V_{1}\cap V_{2}$ und sei ${}U_{1}\subseteq B_{1}$ das Urbild von ${}W$ unter ${}\pi _{1}$ und ${}U_{2}\subseteq B_{2}$ das Urbild von ${}W$ unter ${}\pi _{2}$. Da das Urbild von ${}W$ unter ${}\pi$ die disjunkte Vereinigung von zu ${}W$ homöomorphen Teilmengen ist, die durch eine Translation mit einem Element aus ${}\Gamma$ ineinander übergehen, ist

${}U_{1}=v+U_{2}\,$

mit einem ${}v\in \Gamma$. Die Abbildung

$U_{1}\longrightarrow U_{2},\,z\longmapsto v+z,$

beschreibt dann den Kartenwechsel, was zeigt, dass durch diese Karten eine wohldefinierte komplexe Struktur vorliegt.

Die Kompaktheit folgt aus Fakt oder daraus, dass eine Gittermasche ganz in einer beschränkten und abgeschlossenen, also kompakten Teilmenge von ${}{\mathbb {C} }$ liegt und dass Bilder kompakter Mengen unter stetigen Abbildungen kompakt sind.

Die Holomorphie der Abbildung bezüglich der soeben etablierten komplexen Struktur auf dem Quotienten ist klar.

Zur bewiesenen Aussage