Die Trägermenge der Hauptverteilung ist diskret und daher auch abzählbar, es seien
,
,
die Punkte, auf denen die Hauptverteilung nicht trivial ist, und sei der
Hauptteil
in
gleich
-
![{\displaystyle {}h_{n}(z)=\sum _{k=1}^{d_{n}}{\frac {a_{kn}}{{\left(z-P_{n}\right)}^{k}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e1202463485c68de904492b60d392eadcbd6bdd)
Jeder Hauptteil ist außerhalb des Punktes eine holomorphe Funktion. Es sei
eine
kompakte Ausschöpfung
von
, die es nach
Fakt
gibt. Zu jedem
wählen wir ein Polynom
mit der Eigenschaft, dass
-
![{\displaystyle {}f_{n}:=h_{n}(z)-g_{n}(z)\leq 2^{-n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df41607caef302506e2052824a0503d98401b2a)
auf dem maximalen
mit
.
Da
auf einer offenen Umgebung von
holomorph ist und
kompakt, gibt es ein solches Polynom nach
Fakt.
Wir betrachten die Reihe
-
Auf jedem
gibt es nur endlich viele Punkte
, die zu
gehören, für
außerhalb
(sagen wir ab
)
gilt die obige Abschätzung. Daher konvergiert
gleichmäßig auf
. Insbesondere definiert die Summe auf
eine Grenzfunktion
, die nach
Fakt
holomorph ist. In einem Punkt
![{\displaystyle {}P_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36a0d54821a6f54f21e403b6bebc9551671c1917)
sind alle Summanden bis auf
![{\displaystyle {}h_{n}-f_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e11c43b24a9379a468e92262e3a4cb9c182e3081)
holomorph, und der Hauptteil dieses Summanden ist einfach
![{\displaystyle {}h_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b669e1415a1e24cf7fdf0a9d775ebdedcf7015f)
.