Konstruierbare Zahl/Minimalpolynom hat Grad Zweierpotenz/Fakt/Beweis

Beweis

Die Koordinaten der konstruierbaren Zahl ${}z$ liegen nach Fakt in einer Folge von reell-quadratischen Körpererweiterungen

${}\mathbb {Q} \subset K_{1}\subset K_{2}\subset \ldots \subset K_{n}\,.$

Diese Kette kann man um die komplex-quadratische Körpererweiterung ${}K_{n}\subset K_{n}[{\mathrm {i} }]=L$ ergänzen mit ${}z\in L$. Nach der Gradformel ist der Grad von ${}L$ über ${}\mathbb {Q}$ gleich ${}2^{n+1}$. Dabei ist ${}\mathbb {Q} (z)=\mathbb {Q} [z]\subseteq L$ ein Unterkörper und daher ist, wieder nach der Gradformel, der Grad von ${}\mathbb {Q} [z]$ über ${}\mathbb {Q}$ ein Teiler von ${}2^{n+1}$, also selbst eine Potenz von ${}2$.

Zur bewiesenen Aussage