Konvexe Menge/Gitter/Grundmasche/Für Gitterpunksatz/Textabschnitt

Definition

Eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten ${}P,Q\in T$ auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form

$rP+(1-r)Q{\text{ mit }}r\in [0,1],$

ebenfalls zu ${}T$ gehört.

Der Durchschnitt von konvexen Teilmengen ist wieder konvex. Daher kann man definieren.

Definition

Zu einer Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt die kleinste konvexe Teilmenge ${}T$, die ${}U$ umfasst, die konvexe Hülle von ${}U$.

Die konvexe Hülle ist einfach der Durchschnitt von allen konvexen Teilmengen, die ${}U$ umfassen.

Im zweidimensionalen kann man sich die konvexe Hülle so vorstellen, dass man eine Schnur um die fixierten Punkte aus ${}U$ legt und die Schnur dann zusammen zieht. Dreidimensional nehme man ein Stofftuch.

Definition

Zu einem durch linear unabhängige Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ gegebenen Gitter bezeichnet man die konvexe Hülle der Vektoren ${}\epsilon _{1}v_{1}+\cdots +\epsilon _{n}v_{n}$ mit ${}\epsilon _{i}\in \{0,1\}$ als die Grundmasche (oder Fundamentalmasche) des Gitters.

Die in der vorstehenden Definition auftauchenden Vektoren sind die Eckpunkte des von den Basisvektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ erzeugten Parallelotops. Die Elemente der Grundmasche selbst sind alle Vektoren der Form

$r_{1}v_{1}+\cdots +r_{n}v_{n}{\text{ mit }}r_{i}\in [0,1]$

Wir werden die Grundmasche häufig mit ${}{\mathfrak {M}}$ bezeichnen. Zu einem Gitterpunkt ${}P$ nennt man die Menge ${}P+{\mathfrak {M}}$ eine Masche des Gitters. Ein beliebiger Punkt ${}Q\in \mathbb {R} ^{n}$ hat eine eindeutige Darstellung ${}Q=t_{1}v_{1}+\cdots +t_{n}v_{n}$ und damit ist

$Q=(\lfloor t_{1}\rfloor v_{1}+\cdots +\lfloor t_{n}\rfloor v_{n})+((t_{1}-\lfloor t_{1}\rfloor )v_{1}+\cdots +(t_{n}-\lfloor t_{n}\rfloor )v_{n})\,,$

wobei der erste Summand zum Gitter gehört und der zweite Summand zur Grundmasche. Insbesondere haben zwei verschiedene Maschen nur Randpunkte, aber keine inneren Punkte gemeinsam.

Da ein Gitter keine wohldefinierte Gitterbasis besitzt, gibt es eine wohldefinierte Grundmasche nur dann, wenn eine Gitterbasis fixiert wurde, siehe Beispiel. Allerdings, und dies ist entscheidend, ist das Volumen einer Grundmasche unabhängig von der Gitterbasis und hängt nur vom Gitter selbst ab. Dies folgt aus Fakt in Verbindung mit Fakt. Das Volumen eines Parallelotops und insbesondere einer Grundmasche kann man mit den beiden folgenden Sätzen berechnen.

Satz

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und sei ${}P$ das davon erzeugte Parallelotop.

Dann gilt für das Borel-Lebesgue-Maß ${}\lambda$ auf ${}\mathbb {R} ^{n}$

${}\lambda (P)=\vert {\det \left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)}\vert \,,$

wobei in der Matrix die Koordinaten von ${}v_{i}$ bezüglich der Standardbasis stehen.

Beweis

Dies ist der entscheidende Schritt zum Beweis zu Fakt, siehe den Beweis dort.

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Satz

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ und sei ${}P$ das davon erzeugte Parallelotop.

Dann gilt für das Borel-Lebesgue-Maß ${}\lambda _{V}$ auf ${}V$

${}\lambda _{V}(P)={\left(\det(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq n}\right)}^{1/2}\,.$

Beweis

Für den Beweis siehe Fakt.

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