Kreislinie in R^2/Zurückgezogenes Vektorfeld zu konstantem Vektorfeld e1/Beispiel

Als Beispiel zu Bemerkung betrachten wir den Einheitskreis ${}S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ als abgeschlossene Untermannigfaltigkeit und das konstante Vektorfeld ${}e_{1}$ auf ${}\mathbb {R} ^{2}$, das also jedem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ den ersten Standardvektor als Richtung zuordnet. Die zugehörige Differentialform ist ${}dx$, die ${}e_{1}$ auf ${}1$ und ${}e_{2}$ auf ${}0$ abbildet. Die auf ${}S^{1}$ zurückgezogene Differentialform wird ebenfalls mit ${}dx$ bezeichnet und besitzt die gleiche Wirkungsweise, allerdings eingeschränkt auf den jeweiligen Tangentialraum ${}T_{P}S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$. Das zu dieser Differentialform auf ${}S^{1}$ gehörige Vektorfeld ${}H$ berechnet sich nach Fakt folgendermaßen: Für jeden Punkt ${}P={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\in S^{1}$ und jeden Vektor ${}v={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}\in T_{P}S^{1}$ muss

${}\left\langle H(P),v\right\rangle =dx(P)(v)=v_{1}\,$

gelten, wobei ${}H(P)\in T_{P}S^{1}$ sein muss. Der Tangentialraum ist eindimensional und wird von ${}{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}$ aufgespannt. Daher ist ${}v=d{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}$ und

${}H(P)=c{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}\,$

für gewisse ${}d,c\in \mathbb {R}$. Aus der Bedingung

${}\left\langle H(P),v\right\rangle =\left\langle c{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}},d{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}\right\rangle =cd=-bd\,$

folgt direkt ${}c=-b$. Das zurückgezogene Vektorfeld ist demnach

${}H{\left({\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\right)}=-b{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}\,.$