Kreisring/Holomorphe Funktion/Laurent-Entwicklung/Fakt/Beweis

Beweis

Ohne Einschränkung sei , es sei fixiert. Es sei hinreichend klein, wir setzen

Es sei die einfache Umrundung von mit dem Abstand , nach der Integralformel gilt

Statt betrachten wir den Weg , der sich aus je einem Kreisbogen auf den Kreisen um mit den Radien und und den an tangentialen Strahlen zusammensetzt. Wegen Fakt, angewendet auf Viertelausschnitte von bzw. , ist auch

Wir füllen den durch und gegebenen Kreisring durch (neben den durch gegebenen) weitere sternförmige Kreisringsektoren auf, die zugehörigen Wegintegrale über sind nach Fakt gleich , da die Form dort holomorph ist. Wenn man diese Wegintegrale aufsummiert, so ergibt sich, da die Strahlen entgegengesetzt durchlaufen werden,

wobei die einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreiswege um mit den Radien und bezeichnen.

Auf die beiden Integrale wenden wir den Trick mit der geometrischen Reihe aus Fakt an (beachte, dass im linken Integral und im rechten Integral gilt). Das linke Integral wird zu

und das rechte Integral wird unter Verwendung von

zu

Dies zeigt insgesamt die Gleichheit

wobei die Koeffizienten durch die angegebenen Integrale gegeben und insbesondere unabhängig von sind. In der Berechnung der Koeffizienten kann man dabei und nach Fakt untereinander und durch einen beliebigen Kreisweg um den Nullpunkt innerhalb des Kreisringes ersetzen.