Kreisteilungsring/n/Primzahl/Verzweigt/Fakt/Beweis

Beweis

Von (1) nach (2). Wenn ${}q$ ein Teiler von ${}n$ ist, so ist eine ${}q$-te Einheitswurzel auch eine ${}n$-te Einheitswurzel. Die ${}q$-ten Einheitswurzeln lassen sich also als eine Potenz einer primitiven ${}n$-ten Einheitswurzel erhalten und deshalb gilt für die Kreisteilungskörper ${}K_{q}\subseteq K_{n}$. Damit ist auch ${}R_{q}\subseteq R_{n}$. Nach Fakt in Verbindung mit Fakt und Fakt verzweigt ${}(q)$ in ${}R_{q}$ und damit nach Aufgabe auch in ${}R_{n}$.

Die Äquivalenz von (2) und (3) ist klar aufgrund von Fakt, Aufgabe und Fakt. Von (3) nach (4) ist klar wegen Aufgabe. Die Äquivalenz von (4) und (5) ist klar.

Von (4) nach (1). Wenn ${}q$ kein Teiler von ${}n$ ist, so ist ${}n$ eine Einheit in ${}\mathbb {Z} /(q)$ und somit sind ${}X^{n}-1$ und ${}(X^{n}-1)'=nX^{n-1}$ teilerfremd über ${}\mathbb {Z} /(q)$, was nach Aufgabe die Separabilität bedeutet.

Zur bewiesenen Aussage