Kreisteilungsring/p/Reeller Teilring/Einheiten/Erweiterung/Aufgabe/Lösung


Nach Aufgabe liegt eine Erweiterung mit endlicher Restklassengruppe vor. Es ist zu zeigen, dass

bijektiv ist. Es sei (es ist bei ungerade) ein System von Fundamentaleinheiten in und es ist zu zeigen, dass sie in Fundamentaleinheiten bleiben. Andernfalls würde es ein und ein geben mit in für eine der Fundamentaleinheiten. Nach Aufgabe besitzt den Grad und daher kommt nach Aufgabe für nur in Frage. Sei mit und einer primitiven -ten Einheitswurzel. Dann ist (man muss noch Einheitswurzel als Vorfaktor berücksichtigen)

Damit dies in liegt, muss

sein. Bei

liegt in und wäre keine Fundamentaleinheit. Also ist

Dann ist

Das Quadrat hiervon gehört aber nur dann zu , wenn eine vierte Einheitswurzel ist, was ausgeschlossen ist

(der rechte Faktor liegt auf der imaginären Achse).