Kreisteilungsring/p/Reeller Teilring/Einheiten/Erweiterung/Aufgabe/Lösung

Nach Aufgabe liegt eine Erweiterung ${}S_{p}^{\times }\subseteq R_{p}^{\times }$ mit endlicher Restklassengruppe vor. Es ist zu zeigen, dass

$S_{p}^{\times }/\{\pm 1\}\longrightarrow R_{p}^{\times }/\mu _{}{\left(R_{p}\right)}$

bijektiv ist. Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{\ell }\in S_{p}^{\times }$ (es ist ${}\ell ={\frac {p-1}{2}}$ bei ${}p$ ungerade) ein System von Fundamentaleinheiten in ${}S_{p}$ und es ist zu zeigen, dass sie in ${}R_{p}$ Fundamentaleinheiten bleiben. Andernfalls würde es ein ${}v\in R_{p}^{\times }$ und ein ${}n\geq 2$ geben mit ${}[v^{n}]=[u]$ in ${}R_{p}^{\times }/\mu _{}{\left(R_{p}\right)}$ für eine der Fundamentaleinheiten. Nach Aufgabe besitzt ${}S_{p}\subseteq R_{p}$ den Grad ${}2$ und daher kommt nach Aufgabe für ${}n$ nur ${}2$ in Frage. Sei ${}v=a+b\zeta$ mit ${}a,b\in S_{p}$ und einer primitiven ${}p$-ten Einheitswurzel. Dann ist (man muss noch Einheitswurzel als Vorfaktor berücksichtigen)

${}{\begin{aligned}(a+b\zeta )^{2}&=a^{2}+b^{2}\zeta ^{2}+2ab\zeta \\&=a^{2}+b^{2}{\left((\zeta +\zeta ^{-1})\zeta -1\right)}+2ab\zeta \\&=a^{2}-b^{2}+{\left(b^{2}(\zeta +\zeta ^{-1})+2ab\right)}\zeta .\end{aligned}}$

Damit dies in ${}S_{p}$ liegt, muss

${}b(b(\zeta +\zeta ^{-1})+2a)=0\,$

sein. Bei

${}b=0\,$

liegt ${}v$ in ${}S_{p}$ und ${}u$ wäre keine Fundamentaleinheit. Also ist

${}a=-{\frac {b(\zeta +\zeta ^{-1})}{2}}\,.$

Dann ist

${}v=b{\left(-{\frac {\zeta +\zeta ^{-1}}{2}}+\zeta \right)}=b{\left({\frac {\zeta -\zeta ^{-1}}{2}}\right)}\,.$

Das Quadrat hiervon gehört aber nur dann zu ${}\mathbb {R}$, wenn ${}\zeta$ eine vierte Einheitswurzel ist, was ausgeschlossen ist

(der rechte Faktor liegt auf der imaginären Achse).

Zur gelösten Aufgabe