Wir wollen das Volumen einer dreidimensionalen abgeschlossenen Kugel vom Radius
berechnen, also von
-
![{\displaystyle {}B(r)={\left\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid \Vert {x}\Vert \leq r\right\}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2750be0117ff7816423782da3b85f22194929ec)
Wegen
Fakt
gilt dabei
,
d.h. es geht im Wesentlichen darum, das Volumen der Einheitskugel auszurechnen.
Für jedes fixierte
,
,
kann man den Querschnitt als
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}T(u)&={\left\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in B(1)\mid x_{3}=u\right\}}\\&={\left\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}\mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1-u^{2}\right\}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf3c054049fb82a90a8685594b78846c922730f)
schreiben, d.h. als eine Kreisfläche vom Radius
. Aufgrund
des Cavalieri-Prinzips
ist daher
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\lambda ^{3}(B(1))&=\int _{-1}^{1}\lambda ^{2}{\left(B_{2}{\left({\sqrt {1-u^{2}}}\right)}\right)}\,dh\\&=\pi \int _{-1}^{1}1-u^{2}\,du\\&=\pi {\left(u-{\frac {1}{3}}u^{3}\right)}|_{-1}^{1}\\&=\pi {\left(1-{\frac {1}{3}}-{\left(-1+{\frac {1}{3}}\right)}\right)}\\&=\pi {\frac {4}{3}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6ad01dad2483c2293216982ad81e9021491e3cd)