Kugelvolumen/Mit Cavalieri-Prinzip aus Kreisfläche/Beispiel

Wir wollen das Volumen einer dreidimensionalen abgeschlossenen Kugel vom Radius ${}r$ berechnen, also von

${}B(r)={\left\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid \Vert {x}\Vert \leq r\right\}}\,.$

Wegen Fakt gilt dabei ${}\lambda ^{3}(B(r))=r^{3}\lambda ^{3}(B(1))$, d.h. es geht im Wesentlichen darum, das Volumen der Einheitskugel auszurechnen.

Für jedes fixierte ${}u$, ${}-1\leq u\leq 1$, kann man den Querschnitt als

${}{\begin{aligned}T(u)&={\left\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in B(1)\mid x_{3}=u\right\}}\\&={\left\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}\mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1-u^{2}\right\}}\end{aligned}}$

schreiben, d.h. als eine Kreisfläche vom Radius ${}{\sqrt {1-u^{2}}}$. Aufgrund des Cavalieri-Prinzips ist daher

${}{\begin{aligned}\lambda ^{3}(B(1))&=\int _{-1}^{1}\lambda ^{2}{\left(B_{2}{\left({\sqrt {1-u^{2}}}\right)}\right)}\,dh\\&=\pi \int _{-1}^{1}1-u^{2}\,du\\&=\pi {\left(u-{\frac {1}{3}}u^{3}\right)}|_{-1}^{1}\\&=\pi {\left(1-{\frac {1}{3}}-{\left(-1+{\frac {1}{3}}\right)}\right)}\\&=\pi {\frac {4}{3}}.\end{aligned}}$