Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 19/latex
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{M \subset \N}{} das durch
\mathl{3,5,7}{} erzeugte numerische Untermonoid. Bestimme eine Restklassendarstellung des zugehörigen Monoidringes.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei
\mathl{M \subseteq \N}{} ein numerisches Monoid, das von teilerfremden Elementen erzeugt werde. Es sei vorausgesetzt, dass die \definitionsverweis {Multiplizität}{}{}
von $M$ mit der
\definitionsverweis {Führungszahl}{}{}
von $M$ übereinstimmt. Bestimme ein minimales Erzeugendensystem und die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{}
von $M$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Klassifiziere sämtliche numerische Monoide $M$
\zusatzklammer {mit teilerfremden Erzeugern} {} {} mit
\definitionsverweis {Führungszahl}{}{}
\mathl{f(M) \leq 6}{.} Man gebe jeweils die
\definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{,} die Multiplizität und den Singularitätsgrad an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $M$ ein
\definitionsverweis {kommutatives Monoid}{}{}
und $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Charakterisiere, für welche Teilmengen
\mathl{I \subseteq M}{} die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R[I]
}
{ =} { \bigoplus_{m \in I} T^m
}
{ \subseteq} { R[M]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R[M]$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mathl{M \subseteq \N}{} ein numerisches Monoid und $K$ ein Körper. Definiere
\mathdisp {M_+= M \cap \N_+ \text{ und } n M_+ ={ \left\{ m \in M \mid \text{es gibt eine Darstellung } m = m_1+ \ldots +m_n \text{ mit } m_i \in M_+ \right\} }} { . }
Zeige, dass $nM_+$ \anfuehrung{Ideale}{} in $M$ sind, dass zu $M_+$ ein maximales Ideal ${\mathfrak m}$ in $K[M]$ gehört, und dass das zu $nM_+$ gehörige Ideal gleich ${\mathfrak m}^n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien $M$ und $N$
\definitionsverweis {kommutative Monoide}{}{}
und sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
In welcher Beziehung steht
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[M \times N] \right) }}{} zu
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[M] \right) }}{} und
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[N] \right) }}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Finde ein
\definitionsverweis {kommutatives Monoid}{}{}
$M$ derart, dass eine
\definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[M]
}
{ \cong} { K[X,Y,U,V]/(UX-VY)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es seien $R$ und $S$
\definitionsverweis {Integritätsbereiche}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {ganze Ringerweiterung}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element, das in $S$ eine Einheit ist. Zeige, dass $f$ dann schon in $R$ eine Einheit ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien
\mathl{R,S,T}{}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{Fakt}{}
und seien
\mathl{\varphi:R \rightarrow S}{} und
\mathl{\psi:S \rightarrow T}{} Ringhomomorphismen derart, dass $S$
\definitionsverweis {ganz}{}{} über $R$ und $T$ ganz über $S$ ist. Zeige, dass dann auch $T$ ganz über $R$ ist.
}
{} {(Vergleiche Aufgabe 10.6.)}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {ganze Erweiterung}{}{}
von
\definitionsverweis {Integritätsbereichen}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Zeige, dass dann auch die zugehörige Erweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_F
}
{ \subseteq }{S_F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ganz ist.
}
{} {}