Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 21/latex




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} mit \definitionsverweis {maximalem Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} }
{ = }{ (p) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} \maabbeledisp {} {R \setminus \{0\} } { \N } {f} {\operatorname{ord} \, (f) } {,} folgende Eigenschaften besitzt. \aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (fg) }
{ = }{ \operatorname{ord} \, (f) + \operatorname{ord} \, (g) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f+g) }
{ \geq }{ \operatorname{min} \left( \operatorname{ord} \, (f) ,\, \operatorname{ord} \, (g) \right) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ {\mathfrak m} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f) }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ R^{\times} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.} Definiere zu einem Element
\mathbed {q \in Q(R)} {}
{q \neq 0} {}
{} {} {} {,} die Ordnung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (q) }
{ \in} { \Z }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dabei soll die Definition mit der \definitionsverweis {Ordnung}{}{} für Elemente aus $R$ übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus \maabb {} {Q(R) \setminus \{0\} } { \Z } {} definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $K(T)$ der \definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{} über $K$. Finde einen \definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ \subseteq }{ K(T) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q(R) }
{ = }{ K(T) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R \cap K[T] }
{ = }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und seien $R$ und $S$ integre $K$-Algebren von endlichem Typ. Es sei \maabb {\varphi} {R} {S } {} ein endlicher injektiver $K$-Algebrahomomorphismus. Zeige, dass dann \maabb {\varphi^*} {K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) }} {K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } } {} surjektiv ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{Q(R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass jeder Zwischenring
\mathbed {S} {}
{R \subseteq S \subseteq Q} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q$. Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen $R$ und $Q$ gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q$. Charakterisiere die \definitionsverweis {endlich erzeugten}{}{} $R$-\definitionsverweis {Untermoduln}{}{} von $Q$. Auf welche Form kann man ein Erzeugendensystem bringen?

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} mit \definitionsverweis {Normalisierung}{}{} $R^{\operatorname{norm} }$. Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f} }
{ =} {{ \left\{ g \in R \mid gR^{\operatorname{norm} } \subseteq R \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$ gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Es sei
\mathl{M \subseteq \N}{} ein numerisches Monoid, das von teilerfremden natürlichen Zahlen erzeugt werde. Zeige, dass für das Führungsideal des zugehörigen Monoidrings $K[M]$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f} }
{ =} { (M_{\geq f}) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besteht, wobei $f$ die \definitionsverweis {Führungszahl}{}{} des Monoids bezeichnet.

}
{} {}

Die drei folgenden Aufgaben knüpfen an Diskussionen der Übung an.


\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mathl{M \subseteq \N}{} ein numerisches Monoid, das von teilerfremden natürlichen Zahlen erzeugt sei. Zeige, dass die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{} maximal gleich der \definitionsverweis {Multiplizität }{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mathl{M \subseteq \N}{} ein durch teilerfremde Zahlen erzeugtes numerisches Monoid, bei dem die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{} gleich der \definitionsverweis {Multiplizität}{}{} ist. Zeige, dass dann der maximale Erzeuger aus einem minimalen Erzeugendensystem größer oder gleich der \definitionsverweis {Führungszahl}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Man gebe ein Beispiel eines numerischen Monoids $M$ mit Multiplizität $3$ und Einbettungsdimension $3$ an, bei dem die Führungszahl prim ist und nicht zum minimalen Erzeugendensystem gehört.

}
{} {}