Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 21

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(p)$. Zeige, dass die Ordnung

$R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} \,(f),$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. ${}\operatorname {ord} \,(fg)=\operatorname {ord} \,(f)+\operatorname {ord} \,(g)$.
2. ${}\operatorname {ord} \,(f+g)\geq \operatorname {min} \left(\operatorname {ord} \,(f),\,\operatorname {ord} \,(g)\right)$.
3. Es ist ${}f\in {\mathfrak {m}}$ genau dann, wenn ${}\operatorname {ord} \,(f)\geq 1$ ist.
4. Es ist ${}f\in R^{\times }$ genau dann, wenn ${}\operatorname {ord} \,(f)=0$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring. Definiere zu einem Element ${}q\in Q(R)$, ${}q\neq 0$, die Ordnung

${}\operatorname {ord} \,(q)\in \mathbb {Z} \,.$

Dabei soll die Definition mit der Ordnung für Elemente aus ${}R$ übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus ${}Q(R)\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {Z}$ definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K(T)$ der Körper der rationalen Funktionen über ${}K$. Finde einen diskreten Bewertungsring ${}R\subseteq K(T)$ mit ${}Q(R)=K(T)$ und mit ${}R\cap K[T]=K$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}R$ und ${}S$ integre ${}K$-Algebren von endlichem Typ. Es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein endlicher injektiver ${}K$-Algebrahomomorphismus. Zeige, dass dann ${}\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\rightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ surjektiv ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich mit Quotientenkörper ${}Q=Q(R)$. Zeige, dass jeder Zwischenring ${}S$, ${}R\subseteq S\subseteq Q$, eine Nenneraufnahme ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper ${}Q$. Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen ${}R$ und ${}Q$ gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper ${}Q$. Charakterisiere die endlich erzeugten ${}R$- Untermoduln von ${}Q$. Auf welche Form kann man ein Erzeugendensystem bringen?

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Normalisierung ${}R^{\operatorname {norm} }$. Zeige, dass durch

${}{\mathfrak {f}}={\left\{g\in R\mid gR^{\operatorname {norm} }\subseteq R\right\}}\,$

ein Ideal in ${}R$ gegeben ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein numerisches Monoid, das von teilerfremden natürlichen Zahlen erzeugt werde. Zeige, dass für das Führungsideal des zugehörigen Monoidrings ${}K[M]$ die Beziehung

${}{\mathfrak {f}}=(M_{\geq f})\,$

besteht, wobei ${}f$ die Führungszahl des Monoids bezeichnet.

Die drei folgenden Aufgaben knüpfen an Diskussionen der Übung an.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein numerisches Monoid, das von teilerfremden natürlichen Zahlen erzeugt sei. Zeige, dass die Einbettungsdimension maximal gleich der Multiplizität ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein durch teilerfremde Zahlen erzeugtes numerisches Monoid, bei dem die Einbettungsdimension gleich der Multiplizität ist. Zeige, dass dann der maximale Erzeuger aus einem minimalen Erzeugendensystem größer oder gleich der Führungszahl ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel eines numerischen Monoids ${}M$ mit Multiplizität ${}3$ und Einbettungsdimension ${}3$ an, bei dem die Führungszahl prim ist und nicht zum minimalen Erzeugendensystem gehört.