Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 22/latex
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {positiven Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme die Menge der Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[T]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\definitionsverweis {formaler Ableitung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F'
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man charakterisiere die Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft, dass
\aufzaehlungdrei{die erste
\definitionsverweis {partielle Ableitung}{}{,}
}{die zweite partielle Ableitung,
}{beide partiellen Ableitungen
}
$0$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein nichtkonstantes Polynom mit einfachen Primfaktoren und mit zugehöriger
\definitionsverweis {ebener Kurve}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{V(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $C$ nur endlich viele
\definitionsverweis {singuläre Punkte}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G,H
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Polynome mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G(P)
}
{ = }{H(P)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für einen bestimmten Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{GH
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass jede
\definitionsverweis {Tangente}{}{}
von $G$ in $P$ und jede Tangente von $H$ in $P$ auch eine Tangente von $F$ in $P$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Beweise Lemma 22.11.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Cercle tangente rayon.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Cercle tangente rayon.svg } {} {} {Commons} {} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Einheitskreis}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $\neq 2$ \definitionsverweis {glatt}{}{} ist und bestimme für jeden Punkt die Gleichung der \definitionsverweis {Tangente}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.}
a) Zeige, dass der
\definitionsverweis {Graph}{}{}
eines Polynoms
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {glatte}{}{}
\definitionsverweis {algebraische Kurve}{}{}
ist.
b) Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F,G
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Polynome ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige, dass der Graph der
\definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
$F/G$ ebenfalls eine glatte algebraische Kurve ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.}
Betrachte die
\definitionsverweis {Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V(x^3+5x^2y-6xy^2-x^2-xy+4y^2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Bestimme die
\definitionsverweis {Tangenten}{}{}
im Nullpunkt.
}{Zeige, dass
\mathl{P=(1,2)}{} ein Punkt der Kurve ist, und berechne die Tangente(n) von $C$ in $P$ über die Ableitung.
}{Führe eine Variablentransformation durch derart, dass $P$ in den neuen Variablen der Nullpunkt ist, und bestimme die Tangente(n) in $P$ aus der transformierten Kurvengleichung.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme für die
\definitionsverweis {algebraische Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V { \left( 9y^4+10x^2y^2+x^4-12y^3-12x^2y+4y^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Singularitäten}{}{}
sowie deren
\definitionsverweis {Multiplizitäten}{}{}
und
\definitionsverweis {Tangenten}{}{.}
}
{(vergleiche Beispiel 8.5)} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Eine
\definitionswortenp{Potenzreihe in einer Variablen}{} über $K$ ist ein formaler Ausdruck der Form
\mathdisp {a_0+a_1T+a_2T^2+a_3T^3+ \ldots \text{ mit } a_i \in K} { . }
Es kann hier also unendlich viele von $0$ verschiedene Koeffizienten $a_i$ geben. Definiere eine Ringstruktur auf der Menge aller Potenzreihen, die die Ringstruktur auf dem Polynomring in einer Variablen fortsetzt. Zeige, dass dieser Ring ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Zeige, dass ein noetherscher \definitionsverweis {abstrakter Bewertungsring}{}{} schon diskret ist.
}
{} {}