Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 25/latex
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne die ersten fünf Glieder (bis einschließlich $c_4$) der eingesetzten Potenzreihe $F(G)$ im Sinne von Definition 24.9.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Cardioid.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Cardioid.svg } {} {} {Commons} {} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die Singularitäten
\zusatzklammer {mit Multiplizitäten und Tangenten} {} {}
der durch
\mathdisp {V { \left( { \left( X^2+Y^2 \right) }^2- 2X { \left( X^2+Y^2 \right) } -Y^2 \right) }} { }
gegebenen
\definitionswortenp{Kardioide}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Betrachte die Kardioide
\mathdisp {V((X^2+Y^2)^2- 2X(X^2+Y^2)-Y^2)} { }
im Punkt $(2,0)$. Bestimme eine formale Parametrisierung (bis zum fünften Term) der Kurve in diesem Punkt in Abhängigkeit von einem Tangentenparameter.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeichne mittels eines geeigneten Programms eine der Beispielkurven der Vorlesung sowie die verschiedenen dort berechneten polynomialen Approximationen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Betrachte den Einheitskreis
\mathl{X^2+Y^2=1}{} im Punkt $(1,0)$. Bestimme Potenzreihen $G$ und
\mathl{H \in K[ \![T]\! ]}{} mit den Anfangsbedingungen
\mathl{a_0=1,\, a_1=0,\, b_0=0,\, b_1=1}{} und mit
\mathl{G(T)^2+H(T)^2=1}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Betrachte die Neilsche Parabel
\mathl{C=V(Y^3-X^2)}{} im Punkt $(1,1)$. Finde eine Parametrisierung der Kurve in diesem Punkt mit Potenzreihen (bis zum fünften Glied) derart, dass eine Potenzreihe davon ein lineares Polynom ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Eine
\definitionswortenp{formale Laurentreihe mit endlichem Hauptteil}{} ist eine unendliche Summe der Form
\mathdisp {F= \sum_{n=k}^\infty a_n T^n \text{ mit } a_n \in K \text{ und } k \in \Z} { . }
Zeige, dass der Ring dieser formalen Reihen
\zusatzklammer {mit geeigneten Ringoperationen} {} {}
isomorph zum
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
des
\definitionsverweis {Potenzreihenringes}{}{}
\mathl{K[ \![T]\! ]}{} ist.
}
{} {}
Die folgenden Aufgaben beschäftigen sich mit der Komplettierung eines lokalen Ringes.
\inputaufgabe
{3}
{
Betrachte zu einem lokalen Ring $R$ mit maximalem Ideal ${\mathfrak m}$ das Diagramm
\mathdisp {\longrightarrow R/{\mathfrak m}^4 \longrightarrow R/{\mathfrak m}^3 \longrightarrow R/{\mathfrak m}^2 \longrightarrow R/{\mathfrak m}} { . }
Dabei sind die Abbildungen die kanonischen Projektionen
\mathl{\varphi_{n}: R/{\mathfrak m}^{n+1} \rightarrow R/{\mathfrak m}^n}{}, die durch die Idealinklusionen
\mathl{{\mathfrak m}^{n+1} \subseteq {\mathfrak m}^n}{} induziert werden. Eine Folge von Elementen
\mathdisp {a_n \in R/{\mathfrak m}^n} { }
heißt \stichwort {verträglich} {,} wenn
\mathl{\varphi_n(a_{n+1}) = a_n}{} für alle $n$ gilt. Definiere eine Ringstruktur auf der Menge aller verträglichen Elemente (diesen Ring nennt man die
\definitionswortenp{Komplettierung}{} von $R$.) Zeige ferner, dass es einen kanonischen Ringhomomorphismus von $R$ in die Komplettierung gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein eindimensionaler lokaler noetherscher kommutativer Ring. Zeige, dass die kanonische Abbildung von $R$ in die Komplettierung von $R$ injektiv ist.
}
{Bemerkung: Die Injektivität gilt für jeden noetherschen lokalen Ring, ist aber schwieriger zu beweisen.} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $I$ ein Ideal. Zeigen Sie, dass durch
\mathdisp {\{x + I^n \, \vert \, n \in \N \} \quad (x \in R)} { }
Umgebungsbasen definiert werden. Zeigen Sie außerdem, dass die auf $R$ induzierte Topologie genau dann hausdorffsch ist, wenn
\mathl{\bigcap_n I^n = \{0\}}{.}
}
{Bemerkung: Die Komplettierung eines lokalen Ringes bezüglich seines maximalen Ideals entspricht dann genau der (topologischen) Komplettierung bezüglich dieser Topologie.} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei $K[T]$ der Polynomring in einer Variablen. Es sei $R$ die Lokalisierung von $K[T]$ am maximalen Ideal
\mathl{{\mathfrak m}=(T)}{.} Zeige, dass die Komplettierung von $R$ isomorph zum
\definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{}
$K[ \![T]\! ]$ ist.
}
{} {}