Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 28/latex
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{} der durch
\mathdisp {V { \left( { \left( X^2+Y^2 \right) }^2- 2X { \left( X^2+Y^2 \right) } -Y^2 \right) }} { }
gegebenen
\definitionswortenp{Kardioide}{} über den komplexen Zahlen und insbesondere die \anfuehrung{Punkte im Unendlichen}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mathl{{\mathbb K} = \R}{} oder $={\mathbb C}$. Es sei
\mathl{H \subset {\mathbb K}^{n+1}}{} ein $n$-dimensionaler
\definitionsverweis {affiner Unterraum}{}{,}
der den Nullpunkt nicht enthält, und es sei $\tilde{H}$ der dazu parallele Unterraum durch den Nullpunkt. Es sei
\mathl{U \subseteq H}{} eine in
\mathl{H \cong {\mathbb K}^n}{} offene Menge
\zusatzklammer {in der metrischen Topologie} {} {}
und es sei $V$ die Vereinigung aller Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt von $U$. Zeige, dass der Durchschnitt von $V$ mit
\mathl{{\mathbb K}^{n+1} \setminus \tilde{H}}{} offen ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei
\mathl{D_+(L) \cong { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } \subset {\mathbb P}^{n}_{K}}{,} wobei $L$ eine homogene Linearform im zugehörigen Polynomring
\mathl{K[X_0 , \ldots , X_n]}{} sei. Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum die Zariski-Topologie auf dem affinen Raum induziert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es seien $X$ und $Y$
\definitionsverweis {quasiprojektive Varietäten}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.}
Es sei
\mathl{Y= \bigcup_{i \in I} U_i}{} eine offene Überdeckung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann ein
\definitionsverweis {Morphismus}{}{}
ist, wenn die Einschränkungen
\mathl{\varphi_i : \varphi^{-1} (U_i) \rightarrow U_i}{} für jedes $i$ Morphismen sind
}
{} {}
In den folgenden vier Aufgaben geht es um die \stichwort {Kegelabbildung} {.}
\inputaufgabe
{2}
{
Definiere die \stichwort {Kegelabbildung} {} \maabbdisp {} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\} } { {\mathbb P}^{n}_{K} } {,} die einem vom Nullpunkt verschiedenen Punkt des affinen Raumes denjenigen projektiven Punkt zuordnet, der der Gerade durch den Punkt und dem Nullpunkt entspricht. Bestimme das Urbild einer offenen Menge des projektiven Raumes unter dieser Abbildung und zeige, dass sie stetig bezüglich der Zariski-Topologie ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Kegelabbildung}{}{} \maabbdisp {} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\} } {{\mathbb P}^{n}_{K} } {} ein Morphismus von quasiprojektiven Varietäten ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige durch ein Beispiel, dass die \definitionsverweis {Kegelabbildung}{}{} \maabbdisp {} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\} } {{\mathbb P}^{n}_{K} } {} nicht \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme für die
\definitionsverweis {Kegelabbildung}{}{}
\maabbdisp {} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\}} {{\mathbb P}^{n}_{K}
} {}
den Zariski-Abschluss im ${\mathbb P}^{n}_{K}$ des Bildes einer abgeschlossenen Menge
\mathl{V( {\mathfrak a}) \cap { {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Man definiere und charakterisiere, wann eine irreduzible quasiprojektive Varietät \stichwort {normal} {} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mathl{F \in K[X,Y]}{} ein irreduzibles Polynom und
\mathl{R=K[X,Y]/(F)}{} der integre Koordinatenring der ebenen Kurve
\mathl{C=V(F)}{.} Es sei
\mathl{R \rightarrow S=R^{\operatorname{norm} }}{} die Normalisierung von $R$ und es sei
\mathl{R \rightarrow K[ \![T]\! ]}{} der Ringhomomorphismus zu einer nichtkonstanten formalen Potenzreihenlösung der Kurve. Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
\mathl{S \rightarrow K[ \![T]\! ]}{} gibt derart, dass das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix}R & \stackrel{ }{\longrightarrow} & S & \\ & \searrow & \downarrow & \\ & & K[ \![T]\! ] & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass in
\mathl{K[X,Y]_{(X,Y)}/(X^2-Y^3)}{} jedes Ideal durch maximal zwei Erzeuger gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Man gebe ein Beispiel einer ebenen monomialen Kurve und eines Ideals im zugehörigen lokalen Ring der Singularität, das nicht von zwei Elementen erzeugt werden kann.
}
{} {}