Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 28

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den projektiven Abschluss der durch

$V{\left({\left(X^{2}+Y^{2}\right)}^{2}-2X{\left(X^{2}+Y^{2}\right)}-Y^{2}\right)}$

gegebenen Kardioide über den komplexen Zahlen und insbesondere die „Punkte im Unendlichen“.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ oder ${}={\mathbb {C} }$. Es sei ${}H\subset {\mathbb {K} }^{n+1}$ ein ${}n$-dimensionaler affiner Unterraum, der den Nullpunkt nicht enthält, und es sei ${}{\tilde {H}}$ der dazu parallele Unterraum durch den Nullpunkt. Es sei ${}U\subseteq H$ eine in ${}H\cong {\mathbb {K} }^{n}$ offene Menge (in der metrischen Topologie) und es sei ${}V$ die Vereinigung aller Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt von ${}U$. Zeige, dass der Durchschnitt von ${}V$ mit ${}{\mathbb {K} }^{n+1}\setminus {\tilde {H}}$ offen ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}D_{+}(L)\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}$, wobei ${}L$ eine homogene Linearform im zugehörigen Polynomring ${}K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ sei. Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum die Zariski-Topologie auf dem affinen Raum induziert.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}X$ und ${}Y$ quasiprojektive Varietäten und sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung. Es sei ${}Y=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann ein Morphismus ist, wenn die Einschränkungen ${}\varphi _{i}:\varphi ^{-1}(U_{i})\rightarrow U_{i}$ für jedes ${}i$ Morphismen sind

In den folgenden vier Aufgaben geht es um die Kegelabbildung.

Aufgabe (2 Punkte)

Definiere die Kegelabbildung

${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n},$

die einem vom Nullpunkt verschiedenen Punkt des affinen Raumes denjenigen projektiven Punkt zuordnet, der der Gerade durch den Punkt und dem Nullpunkt entspricht. Bestimme das Urbild einer offenen Menge des projektiven Raumes unter dieser Abbildung und zeige, dass sie stetig bezüglich der Zariski-Topologie ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Kegelabbildung

${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$

ein Morphismus von quasiprojektiven Varietäten ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige durch ein Beispiel, dass die Kegelabbildung

${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$

nicht abgeschlossen sein muss.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die Kegelabbildung

${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$

den Zariski-Abschluss im ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ des Bildes einer abgeschlossenen Menge ${}V({\mathfrak {a}})\cap {{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Man definiere und charakterisiere, wann eine irreduzible quasiprojektive Varietät normal ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}F\in K[X,Y]$ ein irreduzibles Polynom und ${}R=K[X,Y]/(F)$ der integre Koordinatenring der ebenen Kurve ${}C=V(F)$. Es sei ${}R\rightarrow S=R^{\operatorname {norm} }$ die Normalisierung von ${}R$ und es sei ${}R\rightarrow K[\![T]\!]$ der Ringhomomorphismus zu einer nichtkonstanten formalen Potenzreihenlösung der Kurve. Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus ${}S\rightarrow K[\![T]\!]$ gibt derart, dass das Diagramm

${\begin{matrix}R&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&S&\\&\searrow &\downarrow &\\&&K[\![T]\!]&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass in ${}K[X,Y]_{(X,Y)}/(X^{2}-Y^{3})$ jedes Ideal durch maximal zwei Erzeuger gegeben ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer ebenen monomialen Kurve und eines Ideals im zugehörigen lokalen Ring der Singularität, das nicht von zwei Elementen erzeugt werden kann.