Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 5/latex
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{.}
Zeige: $F$ zerfällt in
\definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei
\mathl{F \in K[X_1, \ldots , X_n]}{} ein \definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{} mit Nullstellenmenge $V(F)$. Zeige, dass für jeden Punkt
\mathl{P\in V(F)}{} und jeden Skalar
\mathl{\lambda \in K}{} auch
\mathl{\lambda P \in V(F)}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Wie viele Monome vom \definitionsverweis {Grad }{}{} $d$ gibt es im Polynomring in einer, in zwei und in drei Variablen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {homogenes Polynom }{}{} unter einer linearen Variablentransformation homogen vom gleichen Grad bleibt, und dass dies bei einer \definitionsverweis {affin-linearen Variablentransformation }{}{} nicht sein muss.
}
{} {}
Die folgenden drei Aufgaben dienen dem Verständnis von Satz 5.4 und Korollar 5.5.
\inputaufgabe
{1}
{
Wende den Beweis zu Satz 5.4 auf das Polynom $Y$ an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Wende den Beweis zu
Satz 5.4
auf die algebraische Kurve an, die zur rationalen Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y
}
{ =} { { \frac{ X^2-2X }{ X^2-1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gehört.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Sei
\mathl{F\in \mathbb C[X,Y]}{} ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass die zugehörige algebraische Kurve
\mathl{C=V(F)}{} überabzählbar viele Elemente besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Berechne das Bild $\tilde{F}$
des Polynoms
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { X^2Y+3XY-Y^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
unter dem durch
\mathdisp {X \longmapsto T^2+S-3,\, Y \longmapsto 3TS+S^2-T} { }
definierten Einsetzungshomomorphismus
\maabbdisp {} {K[X,Y] } { K[S,T]
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Betrachte die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{2}_{K} } { {\mathbb A}^{2}_{K} } {(x,y)} {(x,xy) } {.} Bestimme das Bild und die Fasern dieser Abbildung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Betrachte das \stichwort { Ellipsoid} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E
}
{ =} {V(2x^2+3y^2+4z^2-5)
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \mid 2x^2+3y^2+4z^2 = 5 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Finde eine affin-lineare Variablentransformation(über $\mathbb R$) derart, dass das Bild von $E$ unter der Abbildung die \stichwort {Standardkugel} {}
\mathl{V(x^2+y^2+z^2-1)}{} wird.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Elipsoid_trojosy321.png} }
\end{center}
\bildtext {Ein Ellipsoid: In der algebraischen Geometrie ist damit die Oberfläche gemeint.} }
\bildlizenz { Elipsoid trojosy321.png } {} {Pajs} {cz. Wikipedia} {gemeinfrei} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Seien $V$ und $\tilde{V}$
\definitionsverweis {affin-algebraische Mengen}{}{}
in ${\mathbb A}^{2}_{K}$ zu
\mathl{K= \Z/(2)}{.} Zeige, dass diese beiden Mengen genau dann
\definitionsverweis {affin-linear äquivalent}{}{}
sind, wenn sie die gleiche Anzahl besitzen.
}
{Zeige ebenso, dass dies bei $K=\Z/(p)$ für $p \geq 3$ und auch für $\mathbb A^n_{\Z/(2)}$ für $n \geq 3$ nicht gilt.} {}