Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 5

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ ein homogenes Polynom. Zeige: ${}F$ zerfällt in Linearfaktoren.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein homogenes Polynom mit Nullstellenmenge ${}V(F)$. Zeige, dass für jeden Punkt ${}P\in V(F)$ und jeden Skalar ${}\lambda \in K$ auch ${}\lambda P\in V(F)$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Wie viele Monome vom Grad ${}d$ gibt es im Polynomring in einer, in zwei und in drei Variablen?

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass ein homogenes Polynom unter einer linearen Variablentransformation homogen vom gleichen Grad bleibt, und dass dies bei einer affin-linearen Variablentransformation nicht sein muss.

Die folgenden drei Aufgaben dienen dem Verständnis von Satz 5.4 und Korollar 5.5.

Aufgabe (1 Punkt)

Wende den Beweis zu Satz 5.4 auf das Polynom ${}Y$ an.

Aufgabe (3 Punkte)

Wende den Beweis zu Satz 5.4 auf die algebraische Kurve an, die zur rationalen Funktion

${}Y={\frac {X^{2}-2X}{X^{2}-1}}\,$

gehört.

Aufgabe (2 Punkte)

Sei ${}F\in \mathbb {C} [X,Y]$ ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass die zugehörige algebraische Kurve ${}C=V(F)$ überabzählbar viele Elemente besitzt.

Aufgabe (1 Punkt)

Berechne das Bild ${}{\tilde {F}}$ des Polynoms

${}F=X^{2}Y+3XY-Y^{3}\,$

unter dem durch

$X\longmapsto T^{2}+S-3,\,Y\longmapsto 3TS+S^{2}-T$

definierten Einsetzungshomomorphismus

$K[X,Y]\longrightarrow K[S,T].$

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,(x,y)\longmapsto (x,xy).$

Bestimme das Bild und die Fasern dieser Abbildung.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte das Ellipsoid

${}E=V(2x^{2}+3y^{2}+4z^{2}-5)={\left\{(x,y,z)\mid 2x^{2}+3y^{2}+4z^{2}=5\right\}}\,.$

Finde eine affin-lineare Variablentransformation(über ${}\mathbb {R}$) derart, dass das Bild von ${}E$ unter der Abbildung die Standardkugel ${}V(x^{2}+y^{2}+z^{2}-1)$ wird.

Ein Ellipsoid: In der algebraischen Geometrie ist damit die Oberfläche gemeint.

Aufgabe (4 Punkte)

Seien ${}V$ und ${}{\tilde {V}}$ affin-algebraische Mengen in ${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}$ zu ${}K=\mathbb {Z} /(2)$. Zeige, dass diese beiden Mengen genau dann affin-linear äquivalent sind, wenn sie die gleiche Anzahl besitzen.

Zeige ebenso, dass dies bei ${}K=\mathbb {Z} /(p)$ für ${}p\geq 3$ und auch für ${}\mathbb {A} _{\mathbb {Z} /(2)}^{n}$ für ${}n\geq 3$ nicht gilt.