Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 13/latex

\setcounter{section}{13}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und sei $R$ eine \definitionsverweis {reduzierte}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{.} Beweise den \stichwort {Identitätssatz} {} in der folgenden Gestalt: Wenn für
\mathl{f,g \in R}{} gilt, dass
\mathl{f(P)=g(P)}{} ist für alle
\mathl{P \in K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{,} so ist
\mathl{f= g}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S }
{ \subseteq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.} Man definiert die
\definitionswortenp{Nenneraufnahme}{}
\mathdisp {R_S} { }
schrittweise wie folgt. Es sei zunächst $M$ die Menge der formalen Brüche mit Nenner in $S$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} {{ \left\{ \frac{r}{s} \mid r \in R , \, s \in S \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass durch
\mathdisp {\frac{r}{s} \sim \frac{r'}{s'} \text{ genau dann, wenn es ein } t \in S \text{ mit } trs' =tr's \text{ gibt}} { , }
eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf $M$ definiert ist. Wir bezeichnen mit $R_S$ die Menge der Äquivalenzklassen. Definiere auf $R_S$ eine Ringstruktur und definiere einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\mathl{R \rightarrow R_S}{.}

}
{} {}

In den folgenden Aufgaben dürfen Sie, wenn Sie wollen, bei Nenneraufnahmen annehmen, dass Integritätsbereiche vorliegen.

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien $R$ und $A$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und sei
\mathl{S \subseteq R}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {R} {A } {} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} derart, dass $\varphi(s)$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} in $A$ ist für alle
\mathl{s \in S}{.} Zeige: Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus \maabbdisp {\tilde{\varphi}} {R_S} {A } {,} der $\varphi$ fortsetzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathl{f \in R}{} mit zugehöriger \definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{} $R_f$. Beweise die $R$-\definitionsverweis {Algebraisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_f }
{ \cong} { R[T]/(Tf- 1) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $R=K[X,Y]$ der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} in zwei Variablen, $S \subseteq R$ ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} und $F \in R$ ein Polynom. Zeige, dass es eine eindeutige $R$-\definitionsverweis {Algebraisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (R/(F))_S }
{ \cong} { (R_S)/(F) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $R$ und $S$ kommutative $K$-Algebren von endlichem Typ. Es sei
\mathl{f \in R}{} und
\mathl{\varphi:R \rightarrow S}{} sei ein $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} Zeige, dass die Spektrumsabbildung $\varphi^*$ genau dann durch $D(f)$ faktorisiert, wenn $\varphi(f)$ eine Einheit in $S$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und $R$ eine \definitionsverweis {integre}{}{} \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Es seien $f,g \in R$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungzwei {$D(f) \subseteq D(g)$ } {Es gibt einen $R$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} $R_g \to R_f$. } Zeige ferner, dass diese Äquivalenz für $K=\R$ nicht gilt.

}
{} {}

Die folgende Aufgabe verwendet den Begriff des saturierten multiplikativen Systems.

Ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} $S$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {saturiert}{,} wenn folgendes gilt: Ist $g \in R$ und gibt es ein $f \in S$, das von $g$ geteilt wird, so ist auch $g \in S$.

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $A,B$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und sei
\mathl{\varphi:A \rightarrow B}{} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus }{}{.} Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}(B^\times)}{} der Einheitengruppe ein \definitionsverweis {saturiertes multiplikatives System}{}{} in $A$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} in $R$ ein \definitionsverweis {saturiertes}{}{} \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} bilden.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer integren, endlich erzeugten ${\mathbb C}$-Algebra $R$ und eines multiplikativen Systems
\mathbed {S \subseteq R} {}
{0 \not\in S} {}
{} {} {} {,} an derart, dass die Nenneraufnahme $R_S$ kein Körper ist, aber jedes maximale Ideal aus $R$ zum Einheitsideal in $R_S$ wird.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ein \definitionsverweis {zusammenhängender Ring}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei $f$ sowohl \definitionsverweis {nilpotent}{}{} als auch \definitionsverweis {idempotent}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {idempotentes Element}{}{.} Zeige, dass es eine natürliche \definitionsverweis {Ringisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_e }
{ \cong} { R/(1-e) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{\zusatzklammer {Dies zeigt erneut, dass $D(e)$ offen und abgeschlossen ist} {} {.}} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei
\mathl{R \times S}{} der \definitionsverweis {Produktring}{}{}
\mathl{R \times S}{.} Zeige, dass die Teilmenge
\mathl{R \times 0}{} ein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,} der nicht leer und nicht \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{} sei. Zeige, dass es dann eine stetige Abbildung
\mathl{f:X \rightarrow \R}{,}
\mathl{f\neq 0,1}{,} \zusatzklammer {$\R$ sei mit der metrischen Topologie versehen} {} {} gibt, die \definitionsverweis {idempotent}{}{} im Ring der stetigen Funktionen auf $X$ ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte zwei parallele Geraden $V$ und das Achsenkreuz $W$. Beschreibe eine möglichst natürliche surjektive Abbildung zwischen $V$ und $W$ (in welche Richtung?), und zwar sowohl geometrisch als auch algebraisch. Gibt es auch eine surjektive polynomiale Abbildung in die andere Richtung?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die durch
\mathl{Y^2=X^3+X^2}{} gegebene Kurve $C$ (siehe Beispiel 6.3) und die offene Menge
\mathl{U=D(X) \subseteq C}{.} Finde eine abgeschlossene Realisierung von $U$ in ${ {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } }$ und zeige, dass es auch eine solche Realisierung in ${\mathbb A}^{2}_{K}$ gibt. Skizziere die Bildkurve unter der Abbildung \maabbeledisp {} {U} {{\mathbb A}^{2}_{K} } {(x,y)} { \left( \frac{1}{x}, y \right) } {.} Ist $U$ isomorph zu einer offenen Menge der affinen Geraden?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {nilpotenten}{}{} und die \definitionsverweis {idempotenten}{}{} Elemente in
\mathl{\Z/(175)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und betrachte den Durchschnitt der beiden algebraischen Kurven
\mathdisp {V(X^2+Y^2-1) \text{ und } V(Y-X^2)} { . }
Identifiziere den Restklassenring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} { K[X,Y]/( X^2+Y^2-1,Y-X^2) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einem \definitionsverweis {Produktring}{}{} und beschreibe die Restklassenabbildung
\mathl{K[X,Y] \rightarrow R}{} mittels dieser Identifizierung. Bestimme Urbilder in
\mathl{K[X,Y]}{} für sämtliche \definitionsverweis {idempotenten Elemente}{}{} des Produktringes.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen. \aufzaehlungdrei{R ist \definitionsverweis {reduziert}{}{.} }{Für jedes \definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak p}}{} ist $R_{\mathfrak p}$ reduziert. }{Für jedes \definitionsverweis {maximale Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak m}}{} ist $R_{\mathfrak m}$ reduziert. }

}
{Bemerkung: Man sagt daher, dass Reduziertheit eine lokale Eigenschaft ist.

Man gebe auch ein Beispiel für einen kommutativen Ring, der nicht integer ist, dessen Lokalisierungen an Primidealen aber alle integer sind.} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{Q(R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass jeder Zwischenring
\mathbed {S} {}
{R \subseteq S \subseteq Q} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{} ist.

}
{} {}