Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 12

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Man beschreibe zu einer kommutativen ${}K$- Algebra ${}R$ von endlichem Typ die Spektrumsabbildung, die zum Strukturhomomorphismus der Algebra gehört.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}R$ eine kommutative ${}K$- Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass die Punkte aus ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ den maximalen Idealen in ${}R$ entsprechen.

Aufgabe

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass für jedes Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ die Gleichheit

${}V({\mathfrak {a}})=V(\operatorname {rad} \,({\mathfrak {a}}))\,$

gilt.

Aufgabe

Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem ${}K$-Spektrum einer endlich erzeugten kommutativen ${}K$-Algebra ${}R$ wirklich eine Topologie ist.

Aufgabe

Es seien ${}R,S,T$ kommutative ${}K$- Algebren von endlichem Typ und ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ und ${}\psi \colon S\rightarrow T$ seien ${}K$- Algebrahomomorphismen. Man zeige, dass für die zugehörigen Spektrumsabbildungen

${}(\psi \circ \varphi )^{*}=\varphi ^{*}\circ \psi ^{*}\,$

gilt. Ferner zeige man, dass zur Identität ${}\operatorname {Id} \colon R\rightarrow R$ auch ${}\operatorname {Id} ^{*}$ die Identität ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel von zwei kommutativen ${}K$- Algebren ${}R,S$ von endlichem Typ und einer stetigen Abbildung zwischen den zugehörigen ${}K$- Spektren, die nicht von einem ${}K$- Algebrahomomorphismus herrühren kann.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R$ eine kommutative ${}K$- Algebra von endlichem Typ, und sei ${}F\in R$. Es sei

$\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$

die zum Einsetzungshomomorphismus gehörende Spektrumsabbildung. Zeige, dass

${}(\varphi ^{*})^{-1}(0)=V(F)\,$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra von endlichem Typ mit der Reduktion ${}S=R_{\rm {red}}$. Zeige, dass es eine natürliche Homöomorphie

${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\cong K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\,$

gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine endlich erzeugte ${}K$-Algebra. Stifte eine Bijektion zwischen

$K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}{\text{ und }}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}.$

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}R$ eine endlich erzeugte ${}K$-Algebra, sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und sei ${}X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$. In welcher Beziehung stehen die beiden Aussagen

$V({\mathfrak {a}})=\emptyset {\text{ und }}{\mathfrak {a}}{\text{ ist das Einheitsideal}}$

und die beiden Aussagen

$V({\mathfrak {a}})=X{\text{ und }}{\mathfrak {a}}{\text{ ist nilpotent}}$

zueinander. Zeige, dass die Antwort davon abhängt, ob ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist oder nicht.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und ${}R$ eine kommutative ${}K$- Algebra von endlichem Typ, und sei ${}F\in R$. Es sei

$\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$

die zum Einsetzungshomomorphismus gehörende Spektrumsabbildung Zeige, dass ${}F$ genau dann konstant ist, wenn ${}\varphi ^{*}$ konstant ist.

Man mache sich dabei auch die unterschiedlichen Bedeutungen von „konstant“ klar.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel von zwei integren ${}K$- Algebren von endlichem Typ ${}R$ und ${}S$ und einem ${}K$- Algebrahomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow S$, der kein Ringisomorphismus ist, wo aber die induzierte Spektrumsabbildung ${}\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\rightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ ein Homöomorphismus ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}R$ und ${}S$ integre ${}K$-Algebren von endlichem Typ. Es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein endlicher injektiver ${}K$-Algebrahomomorphismus. Zeige, dass dann ${}\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\rightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ surjektiv ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}0$. Es sei eine polynomiale Abbildung der Form

$\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,t\longmapsto (t^{2},\psi (t)),$

gegeben (mit ${}\psi (t)\in K[t]$) Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann injektiv ist, wenn ${}\psi$ die Form hat

${}\psi (t)=at^{n}+\theta (t)\,$

mit ${}a\neq 0$, ${}n$ ungerade und ${}\theta (t)$ ein Polynom, in dem nur geradzahlige Exponenten auftreten.