Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 28/latex
\setcounter{section}{28}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ \left( a_0 , \, \ldots , \, a_n \right)
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{n}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt im
\definitionsverweis {projektiven Raum}{}{.}
Zeige, dass es eine offene affine Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \cong }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ \subset }{ {\mathbb P}^{n}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass $P$ in diesem affinen Raum dem Nullpunkt entspricht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{D_+(L) \cong { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } \subset {\mathbb P}^{n}_{K}}{,} wobei $L$ eine homogene Linearform im zugehörigen Polynomring
\mathl{K[X_0 , \ldots , X_n]}{} sei. Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum die Zariski-Topologie auf dem affinen Raum induziert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Definiere zu jedem
\mathl{n \in \Z}{} das Potenzieren
\mathl{x \mapsto x^n}{} als Morphismus der projektiven Gerade auf sich selbst. Wie sehen die Fasern unter diesem Morphismus aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{} der durch
\mathdisp {V { \left( { \left( X^2+Y^2 \right) }^2- 2X { \left( X^2+Y^2 \right) } -Y^2 \right) }} { }
gegebenen
\definitionswortenp{Kardioide}{} über den komplexen Zahlen und insbesondere die \anfuehrung{Punkte im Unendlichen}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Kegelabbildung}{}{} \maabbdisp {} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\} } {{\mathbb P}^{n}_{K} } {} ein Morphismus von quasiprojektiven Varietäten ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige durch ein Beispiel, dass die \definitionsverweis {Kegelabbildung}{}{} \maabbdisp {} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\} } {{\mathbb P}^{n}_{K} } {} nicht \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $X$ und $Y$
\definitionsverweis {quasiprojektive Varietäten}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.}
Es sei
\mathl{Y= \bigcup_{i \in I} U_i}{} eine offene Überdeckung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann ein
\definitionsverweis {Morphismus}{}{}
ist, wenn die Einschränkungen
\mathl{\varphi_i : \varphi^{-1} (U_i) \rightarrow U_i}{} für jedes $i$ Morphismen sind
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein Körper. Bestimme den globalen Schnittring
\mathdisp {\Gamma { \left( {\mathbb P}^{1}_{K}, {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{K} } \right) }} { . }
Was folgt daraus für einen Morphismus
\maabb {} { {\mathbb P}^{1}_{K} } { {\mathbb A}^{1}_{K}
} {?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man definiere und charakterisiere, wann eine irreduzible quasiprojektive Varietät \stichwort {normal} {} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Betrachte die affine ebene Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V { \left( Y-X^3+X+2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Definiere einen Isomorphismus zwischen $C$ und der affinen Geraden ${\mathbb A}^{1}_{K}$. Lässt sich ein solcher Isomorphismus zu einem Isomorphismus zwischen ${\mathbb P}^{1}_{K}$ und dem
\definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{}
$\bar{C} \subset {\mathbb P}^{2}_{K}$ fortsetzen?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder $={\mathbb C}$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subset }{ {\mathbb K}^{n+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein $n$-dimensionaler
\definitionsverweis {affiner Unterraum}{}{,}
der den Nullpunkt nicht enthält, und es sei $\tilde{H}$ der dazu parallele Unterraum durch den Nullpunkt. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \cong }{ {\mathbb K}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offene Menge
\zusatzklammer {in der metrischen Topologie} {} {}
und es sei $V$ die Vereinigung aller Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt von $U$. Zeige, dass der Durchschnitt von $V$ mit
\mathl{{\mathbb K}^{n+1} \setminus \tilde{H}}{} offen ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die
\definitionsverweis {Kegelabbildung}{}{}
\maabbdisp {} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\}} {{\mathbb P}^{n}_{K}
} {}
den Zariski-Abschluss im ${\mathbb P}^{n}_{K}$ des Bildes einer abgeschlossenen Menge
\mathl{V( {\mathfrak a}) \cap { {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine irreduzible
\definitionsverweis {quasiprojekive Varietät}{}{}
mit Funktionenkörper
\mathl{L=K(X)}{.} Es seien $U$ und
\mathbed {U_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} offene Teilmengen mit
\mathl{U=\bigcup_{i \in I} U_i}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma (U, {\mathcal O} )
}
{ =} { \bigcap_{i \in I} \Gamma (U_i, {\mathcal O} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, wobei der Durchschnitt in $L$ genommen wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und ${\mathbb P}^{n}_{K}$ der
\definitionsverweis {projektive Raum}{}{}
über $K$. Zeige, dass die Konstanten die einzigen globalen
\definitionsverweis {algebraischen Funktionen}{}{}
sind, d.h. es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma { \left( {\mathbb P}^{n}_{K} , {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{K} } \right) }
}
{ =} { K
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{Bemerkung: Diese Aussage gilt für jede zusammenhängende projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.} {}
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