Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 27

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Definiere eine Äquivalenzrelation auf der Menge ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}$ derart, dass der Quotient unter der Äquivalenzrelation der projektive ${}n$-dimensionale Raum ist.

Aufgabe

Man definiere den Begriff projektiv-linearer Unterraum eines projektiven Raumes ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Ideal. Zeige, dass ${}{\mathfrak {a}}$ genau dann ein homogenes Ideal ist, wenn es von homogenen Elementen erzeugt wird.

Aufgabe

Es sei ${}K={\mathbb {F} }_{q}$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen. Berechne auf zwei verschiedene Arten, wie viele Elemente der projektive Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ besitzt.

Die folgenden drei Aufgaben besprechen die Zariski-Topologie auf den projektiven Räumen.

Aufgabe

Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum wirklich eine Topologie ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der projektive Raum. Charakterisiere die homogenen Ideale ${}{\mathfrak {a}}$, für die ${}D_{+}({\mathfrak {a}})=\emptyset$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper. Zeige, dass der projektive Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ irreduzibel ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass zwei verschiedene Punkte ${}P$ und ${}Q$ in der projektiven Ebene eindeutig eine projektive Gerade definieren, auf der beide Punkte liegen. Wie berechnet man die Geradengleichung aus den Koordinaten der Punkte?

Bestimme die homogene Geradengleichung für die beiden Punkte ${}(2,3,7)$ und ${}(1,5,-2)$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ein projektiver Raum der Dimension ${}n$ und es seien ${}X,Y\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ projektiv-lineare Unterräume der Dimension ${}r$ und ${}s$. Es sei ${}r+s\geq n$. Zeige, dass dann ${}X\cap Y\neq \emptyset$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und sei ${}P_{1},\ldots ,P_{m}$ eine endliche Ansammlung von Punkten in einem projektiven Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$. Zeige: Dann gibt es eine homogene Linearform ${}L\in K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ derart, dass all diese Punkte auf der durch ${}L$ definierten offenen Teilmenge ${}D_{+}(L)$ liegen.

Die nächste Aufgabe benötigt noch die folgende Definition:

Für ein homogenes Ideal ${}I$ in ${}R=A[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ mit der Standardgraduierung definiert man die Sättigung (oder Saturierung) von ${}I$ als

${\left\{r\in R\mid {\text{es existiert ein }}n{\text{ mit }}r\cdot (R_{+})^{n}\subseteq I\right\}}.$

Dabei ist ${}R_{+}$ das irrelevante Ideal ${}\bigoplus _{d\geq 1}R_{d}=(X_{0},\ldots ,X_{n})$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}A$ ein kommutativer Ring und ${}R=A[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring mit der Standardgraduierung. Zeige, dass die Sättigung eines homogenen Ideals ${}I$ wieder ein homogenes Ideal ist.