Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 29

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass eine ebene projektive Kurve mit jeder projektiven Geraden in der projektiven Ebene einen nichtleeren Durchschnitt hat.

Aufgabe *

Es sei ${}K=\mathbb {Z} /(5)$ und betrachte die beiden affinen ebenen algebraischen Kurven

$C=V{\left(X^{2}+Y^{2}-1\right)}{\text{ und }}D=V{\left(X^{3}-2Y^{2}+3\right)}.$

Bestimme den Durchschnitt ${}C\cap D$. Bestimme ferner die unendlich fernen Punkte der beiden Kurven (also die zusätzlichen Punkte auf dem projektiven Abschluss ${}{\bar {C}}$ bzw. ${}{\bar {D}}$). Wenn man ${}K$ durch einen algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K\subset L$ ersetzt, wie viele Punkte besitzt dann der Durchschnitt ${}{\bar {C}}\cap {\bar {D}}$ und wie viele davon liegen auf der unendlich fernen Geraden?

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass sämtliche lokale Ringe der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$ isomorph zueinander sind. Man gebe eine möglichst einfache Beschreibung dieses Ringes.

Die Lemniskate von Bernoulli

Aufgabe

Bestimme für die durch ${}V{\left({\left(X^{2}+Y^{2}\right)}^{2}-X^{2}+Y^{2}\right)}$ gegebene Lemniskate von Bernoulli die Singularitäten sowie die unendlich fernen Punkte in ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$. Berechne in all diesen Punkten die Multiplizität und die Tangenten.

Aufgabe

Betrachte die durch die homogene Gleichung

${}ZX^{2}=Y^{3}\,$

gegebene projektive Kurve ${}C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ über einem Körper ${}K$ der Charakteristik ${}0$.

a) Bestimme die singulären Punkte der Kurve.

b) Zeige, dass durch die Zuordnung

$\varphi :(S,T)\longmapsto \left(T^{3},\,ST^{2},\,S^{3}\right)=(X,Y,Z)$

eine wohldefinierte Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {P} }_{}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{}^{2}$

gegeben ist.

c) Zeige, dass die Bildpunkte von ${}\varphi$ auf der Kurve ${}C$ liegen.

d) Welche Punkte in ${}{\mathbb {P} }_{}^{1}$ entsprechen den singulären Punkten der Kurve ${}C$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}m+1$ homogene Polynome ${}F_{0},\ldots ,F_{m}$ in ${}n+1$ Variablen gegeben, die alle den gleichen Grad ${}d$ besitzen. Zeige, dass es eine offene Menge ${}U\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ gibt, auf der die Polynome einen Morphismus

${\mathbb {P} }_{K}^{n}\supseteq U\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{m}$

definieren.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}P=(a_{0},\ldots ,a_{n})\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ein Punkt im projektiven Raum. Zeige, dass die Projektion des ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ auf ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n-1}$ mit Zentrum ${}P$ durch die Matrix

${\begin{pmatrix}-a_{1}&a_{0}&0&\cdots &0\\-a_{2}&0&a_{0}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{n}&0&0&\cdots &a_{0}\\&&&&\end{pmatrix}}$

gegeben ist, also durch die Abbildung

${\begin{pmatrix}x_{0}\\x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}-a_{1}&a_{0}&0&\cdots &0\\-a_{2}&0&a_{0}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{n}&0&0&\cdots &a_{0}\\&&&&\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{0}\\x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}.$

Die Tschirnhausen Kubik

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für die durch ${}V{\left(X^{3}+3X^{2}-Y^{2}\right)}$ gegebene Tschirnhausen Kubik die Singularitäten unter Berücksichtigung der unendlich fernen Punkte. Bestimme die Tangenten in den Singularitäten und in den unendlich fernen Punkten.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für das durch ${}V{\left(X^{3}+Y^{3}-3XY\right)}$ definierte Kartesische Blatt die unendlich fernen Punkte in ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ und berechne die Multiplizität und die Tangenten in diesen Punkten.

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe für die projektive Lemniskate von Bernoulli

${}V_{+}{\left({\left(X^{2}+Y^{2}\right)}^{2}-Z^{2}X^{2}+Z^{2}Y^{2}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$

einen surjektiven Morphismus auf eine projektive Quadrik an. Wie viele Punkte der Lemniskate werden dabei auf einen Punkt der Quadrik abgebildet?