Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 30

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass Lemma 30.2 nicht ohne die Voraussetzung gilt, dass der Körper algebraisch abgeschlossen ist.

Aufgabe

Zeige, dass in den in Beispiel 30.6 berechneten Schnittpunkten ${}\neq (0,0)$ der beiden Kurven ein transversaler Schnitt vorliegt.

Aufgabe *

Es sei ${}K={\mathbb {C} }$ . Bestimme für die beiden affinen Kurven

V{\left(Y-X^{3}\right)}{\text{ und }}V{\left(Y^{2}-X^{3}\right)}

ihre Schnittpunkte zusammen mit den Schnittmultiplizitäten. Betrachte auch Schnittpunkte im ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ und bestätige den Satz von Bezout in diesem Beispiel.

Aufgabe *

Es sei ${}K={\mathbb {C} }$ und betrachte die beiden ebenen algebraischen Kurven

C=V{\left(X-Y^{2}\right)}{\text{ und }}D=V{\left(Y^{2}-X^{5}\right)}.

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Kurven in der affinen Ebene und bestimme jeweils die Schnittmultiplizität. Bestimme auch die unendlich fernen Punkte der beiden Kurven (also die zusätzlichen Punkte auf den projektiven Abschlüssen ${}{\bar {C}}$ und ${}{\bar {D}}$ ) und überprüfe damit die Schnittpunkte im Unendlichen. Bestätige abschließend, dass der Satz von Bezout in diesem Beispiel erfüllt ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine glatte Quadrik (also eine Kurve vom Grad zwei) über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Zeige, dass es eine Isomorphie der Kurve mit der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$ gibt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine glatte Kurve vom Grad ${}d\geq 2$ . Zeige, dass es einen Morphismus ${}C\rightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ derart gibt, dass jede Faser aus maximal ${}d-1$ Punkten besteht.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}C=V_{+}{\left(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ die Fermat-Kubik über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik ${}\neq 3$ . Beschreibe explizit einen Morphismus ${}C\rightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ , bei dem über jedem Punkt maximal zwei Punkte liegen.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}C\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ der komplex-projektive Abschluss des Einheitskreises. Bestimme eine explizite bijektive Parametrisierung ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\rightarrow C$ .

Aufgabe (4 Punkte)

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden ebenen projektiven Kurven ${}C=V_{+}{\left(ZY^{2}-X^{3}\right)}$ und ${}D=V_{+}{\left(X^{2}+(Y-Z)^{2}-Z^{2}\right)}$ .

Skizziere die Situation.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden ebenen projektiven Kurven ${}C=V_{+}{\left(ZY-X^{2}\right)}$ und ${}D=V_{+}{\left(X^{2}+(Y-Z)^{2}-Z^{2}\right)}$ .