Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 3/latex
\setcounter{section}{3}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und
\mathl{n \geq 2}{.} Zeige, dass ein Punkt
\mathl{P \in { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} nicht die
\definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{} zu einem einzigen Polynom ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} und
\mathl{M=\{ P_1,P_2 , \ldots , P_m \} \in { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} eine endliche Menge von Punkten. Zeige, dass $M$ die
\definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{} eines einzigen Polynoms ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man beschreibe eine Abbildung \maabbdisp {\varphi} { {\mathbb A}^{1}_{K} } {{\mathbb A}^{1}_{K} } {,} die bezüglich der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} stetig ist, die aber nicht durch ein Polynom gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Charakterisiere in $\Z$ die Radikale mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} ${\mathfrak a}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ genau dann ein \definitionsverweis {Radikal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/ {\mathfrak a}$ \definitionsverweis {reduziert}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $R$ und $S$
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} {R} {S
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.}
Es sei ${\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
in $S$. Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}( {\mathfrak a} )}{} ein Radikal in $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Seien $\mathfrak a$ und $\mathfrak b$ zwei Ideale in
\mathl{K[X_1, \ldots, X_n]}{} derart, dass ihre Radikale gleich sind. Zeige, dass dann auch ihre Nullstellenmengen übereinstimmen. Zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung nicht stimmt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{M=\{ P_1,P_2 , \ldots , P_m \} \in { {\mathbb A}_{ \R }^{ n } }}{} eine endliche Menge von Punkten. Zeige, dass $M$ die
\definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{} eines einzigen Polynoms ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der reellen
\definitionsverweis {trigonalisierbaren}{}{}
$(2\times 2)$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
im
\mathl{{ {\mathbb A}_{ \R }^{ 4 } }}{} keine
\definitionsverweis {affin-algebraische Menge}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei \maabbdisp {\varphi} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ m } } } {} eine Abbildung, die durch $m$ Polynome in $n$ Variablen gegeben sei. Zeige, dass $\varphi$ stetig bezüglich der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein unendlicher Körper. Zeige, dass jede nichtleere
\definitionsverweis {Zariski-offene}{}{} Menge
\mathl{U \subseteq \mathbb A^n_K}{}
\definitionsverweis {dicht}{}{} ist.
}
{} {Tipp: Induktion über $n$.}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme zu den folgenden Teilmengen der affinen Ebene $\mathbb A^2_K$ den
\definitionsverweis {Zariski-Abschluss}{}{.}
\aufzaehlungfuenf{
\mathl{{ \left\{ (x, \sin (x)) \mid x \in \R \right\} }}{,}
}{
\mathl{{ \left\{ (\cos (x), \sin (x)) \mid x \in \R \right\} }}{,}
}{
\mathl{{ \left\{ (x,x^3) \mid 0 \leq x \leq 1 , \, x \in \R \right\} }}{,}
}{
\mathl{{ \left\{ (x,x^3) \mid 0 \leq x \leq 1 , \, x \in \Q \right\} }}{,}
}{
\mathl{{ \left\{ (x,x^3) \mid x \in \Z/(5) \right\} }}{.}
}
}
{} {}
Die folgende Aufgabe benutzt einige weiterführende topologische Begriffe.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein Körper.
\aufzaehlungvier{Man zeige, dass für
\mathl{K = \R}{} bzw.
\mathl{K = {\mathbb C}}{} die Standardtopologie
\zusatzklammer {die metrische oder euklidische Topologie} {} {}
feiner ist als die
\definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{.}
}{Man zeige, dass für $K[X]$ die Zariski-Topologie mit der
\definitionsverweis {kofiniten Topologie}{}{}
übereinstimmt. Gilt dies auch für
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} mit
\mathl{n > 1}{?}
}{Wann ist die Zariski-Topologie $T_1$, wann ist sie
\definitionsverweis {hausdorffsch}{}{?}
}{Wie sieht die Zariski-Topologie aus, wenn $K$ ein endlicher Körper ist?
}
}
{} {}
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