Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 3

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}n\geq 2$. Zeige, dass ein Punkt ${}P\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ nicht die Nullstellenmenge zu einem einzigen Polynom ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper und ${}M=\{P_{1},P_{2},\ldots ,P_{m}\}\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine endliche Menge von Punkten. Zeige, dass ${}M$ die Nullstellenmenge eines einzigen Polynoms ist.

Aufgabe

Man beschreibe eine Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},$

die bezüglich der Zariski-Topologie stetig ist, die aber nicht durch ein Polynom gegeben ist.

Aufgabe

Charakterisiere in ${}\mathbb {Z}$ die Radikale mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.

Aufgabe *

Zeige, dass ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ genau dann ein Radikal ist, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ reduziert ist.

Aufgabe

Zeige, dass ein Primideal ein Radikal ist.

Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Radikal in ${}S$. Zeige, dass das Urbild ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}})$ ein Radikal in ${}R$ ist.

Aufgabe

Seien ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {b}}$ zwei Ideale in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ derart, dass ihre Radikale gleich sind. Zeige, dass dann auch ihre Nullstellenmengen übereinstimmen. Zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung nicht stimmt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M=\{P_{1},P_{2},\ldots ,P_{m}\}\in {{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{n}}$ eine endliche Menge von Punkten. Zeige, dass ${}M$ die Nullstellenmenge eines einzigen Polynoms ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Menge der reellen trigonalisierbaren ${}(2\times 2)$- Matrizen im ${}{{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{4}}$ keine affin-algebraische Menge ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Sei

$\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$

eine Abbildung, die durch ${}m$ Polynome in ${}n$ Variablen gegeben sei. Zeige, dass ${}\varphi$ stetig bezüglich der Zariski-Topologie ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper. Zeige, dass jede nichtleere Zariski-offene Menge ${}U\subseteq \mathbb {A} _{K}^{n}$ dicht ist.

Tipp: Induktion über ${}n$.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme zu den folgenden Teilmengen der affinen Ebene ${}\mathbb {A} _{K}^{2}$ den Zariski-Abschluss.

1. ${}{\left\{(x,\sin(x))\mid x\in \mathbb {R} \right\}}$,
2. ${}{\left\{(\cos(x),\sin(x))\mid x\in \mathbb {R} \right\}}$,
3. ${}{\left\{(x,x^{3})\mid 0\leq x\leq 1,\,x\in \mathbb {R} \right\}}$,
4. ${}{\left\{(x,x^{3})\mid 0\leq x\leq 1,\,x\in \mathbb {Q} \right\}}$,
5. ${}{\left\{(x,x^{3})\mid x\in \mathbb {Z} /(5)\right\}}$.

Die folgende Aufgabe benutzt einige weiterführende topologische Begriffe.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper.

1. Man zeige, dass für ${}K=\mathbb {R}$ bzw. ${}K={\mathbb {C} }$ die Standardtopologie (die metrische oder euklidische Topologie) feiner ist als die Zariski-Topologie.
2. Man zeige, dass für ${}K[X]$ die Zariski-Topologie mit der kofiniten Topologie übereinstimmt. Gilt dies auch für ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit ${}n>1$?
3. Wann ist die Zariski-Topologie ${}T_{1}$, wann ist sie hausdorffsch?
4. Wie sieht die Zariski-Topologie aus, wenn ${}K$ ein endlicher Körper ist?