Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 4

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Finde ein Ideal, dessen Nullstellenmenge das folgende Gebilde ist.

Aufgabe

Es sei ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine Teilmenge, die aus endlich vielen Punkten bestehe. Zeige: ${}V$ ist genau dann irreduzibel, wenn ${}V$ einpunktig ist.

Aufgabe

Skizziere ein Beispiel einer zusammenhängenden, aber nicht irreduziblen affin-algebraischen Teilmenge.

Aufgabe

Betrachte die Menge der reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ mit der metrischen Topologie. Ist ${}\mathbb {R}$ irreduzibel?

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}\mathbb {Z} /(p)$ der zugehörige Restklassenkörper. Zeige: Jede Quadrik der Form

${}F=aX^{2}+bY^{2}+c=0\,$

mit ${}a,b\neq 0$ hat mindestens eine Lösung in ${}\mathbb {Z} /(p)$.

Aufgabe

Erkläre, wo der Beweis zu Satz 4.8 zusammenbricht, wenn man ihn auf mehr als zwei Variablen ausdehnen will.

Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal in ${}S$. Zeige, dass das Urbild ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})$ ein Primideal in ${}R$ ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines maximalen Ideales kein maximales Ideal sein muss.

In den folgenden Aufgabe werden die Begriffe abgeschlossene Abbildung und offene Abbildung verwendet.

Eine stetige Abbildung

$f\colon X\longrightarrow Y$

zwischen topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ heißt abgeschlossen, wenn Bilder von abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen sind.

Sie heißt offen, wenn Bilder von offenen Mengen wieder offen sind.

Aufgabe

Zeige, dass die Projektion

${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{}^{1},\,(x,y)\longmapsto x,$

nicht abgeschlossen in der Zariski-Topologie ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine ebene algebraische Kurve über den komplexen Zahlen ${}\mathbb {C}$ nicht kompakt in der metrischen Topologie ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne in ${}\mathbb {A} _{\mathbb {R} }^{3}$ den Schnitt des Zylinders ${}V(x^{2}+y^{2}-1)$ mit der Kugel mit Mittelpunkt ${}P=(0,0,0)$ und Radius ${}r$ in Abhängigkeit von ${}r$. Wann ist der Durchschnitt leer, wann irreduzibel?

Man darf verwenden, dass der reelle Kreis irreduzibel ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl ${}\geq 3$ und ${}\mathbb {Z} /(p)$ der zugehörige Restklassenkörper. Es sei ein Polynom ${}F\in \mathbb {Z} /(p)[X,Y]$ der Form

${}F=\alpha X^{2}+\beta XY+\gamma Y^{2}+\delta X+\epsilon Y+\eta \,$

gegeben. Zeige, dass für das zugehörige Nullstellengebilde ${}V(F)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ (wenn ${}\alpha ,\beta ,\gamma$ nicht alle null sind, so ist das eine Quadrik) die folgenden drei Alternativen bestehen.

1. ${}V(F)$ besitzt mindestens einen Punkt.
2. ${}F=c$ mit einer Konstanten ${}c\neq 0$.
3. Es gibt eine Variablentransformation derart, dass das Polynom in den neuen Koordinaten die Gestalt ${}Z^{2}-u$ mit einem Nichtquadrat ${}u\in \mathbb {Z} /(p)$ besitzt.

Aufgabe (3 Punkte)

Sei ${}V$ eine irreduzible, affin-algebraische Menge mit mindestens zwei Punkten und seien ${}P_{1},\ldots ,P_{m}\in V$ endlich viele Punkte darin. Zeige, dass dann auch ${}V\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{m}\}$ (in der induzierten Topologie) irreduzibel ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein faktorieller Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$. Zeige: Wenn ${}F,G\in R[X]$ keinen gemeinsamen Teiler besitzen, so besitzen sie aufgefasst in ${}Q(R)[X]$ ebenfalls keinen gemeinsamen Teiler.

(Man darf sich auf Hauptidealbereiche ${}R$ beschränken.)

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K=\mathbb {Q}$ der Körper der rationalen Zahlen. Begründe, ob

${}V(X^{2}+Y^{2}-1)\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {Q} }^{2}\,$

irreduzibel ist oder nicht.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Projektion

${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},\,(x,y)\longmapsto x,$

offen in der Zariski-Topologie ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die affine Ebene ${}\mathbb {A} _{K}^{2}$ mit der Zariski-Topologie kompakt ist.