Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Definitionsliste


Definition:Polynomring

Der Polynomring über einem kommutativen Ring besteht aus allen Polynomen

mit ,

und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

definiert ist.



Definition:Algebraisch abgeschlossener Körper

Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom eine Nullstelle in besitzt.



Definition:Ebene affin-algebraische Kurve

Es sei ein Körper. Eine ebene affin-algebraische Kurve über ist das Nullstellengebilde eines nicht-konstanten Polynoms in zwei Variablen, also

D.h. es ist



Definition:Affiner Raum

Es sei ein Körper. Dann nennt man den affinen Raum über der Dimension .



Definition:Nullstellengebilde

Es sei ein Körper und sei , , eine Familie von Polynomen in Variablen. Dann nennt man

das durch die Familie definierte Nullstellengebilde (oder Nullstellenmenge). Es wird mit bezeichnet.



Definition:Affin-algebraische Mengen

Es sei ein Körper und sei der Polynomring in Variablen. Dann heißt eine Teilmenge im affinen Raum affin-algebraisch, wenn sie die Nullstellenmenge zu einer Familie , , von Polynomen ist, wenn also gilt.



Definition:Zariski-Topologie

In einem affinen Raum versteht man unter der Zariski-Topologie diejenige Topologie, bei der die affin-algebraischen Mengen als abgeschlossen erklärt werden.



Definition:Verschwindungsideal

Sei eine Teilmenge. Dann nennt man

das Verschwindungsideal zu . Es wird mit bezeichnet.



Definition:Radikal

Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt Radikal (oder Radikalideal), wenn folgendes gilt: Falls ist für ein , so ist bereits .



Definition:Radikal zu einem Ideal

Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal. Dann nennt man die Menge

das Radikal zu . Es wird mit bezeichnet.



Definition:Irreduzible affin-algebraische Menge

Eine affin-algebraische Menge heißt irreduzibel, wenn ist und es keine Zerlegung mit affin-algebraischen Mengen gibt.



Definition:Irreduzible Komponente

Es sei eine affin-algebraische Menge. Eine affin-algebraische Teilmenge heißt eine irreduzible Komponente von , wenn sie irreduzibel ist und wenn es keine irreduzible Teilmenge gibt.



Definition:Rationaler Funktionenkörper

Es sei ein Körper und der Polynomring in einer Variablen über . Dann nennt man den Quotientenkörper den rationalen Funktionenkörper über (oder Körper der rationalen Funktionen über ). Er wird mit bezeichnet.



Definition:Grad von Monomen und Polynomen

Es sei ein kommutativer Ring und der Polynomring über in Variablen. Dann heißt zu einem Monom

die Zahl

der Grad von . Zu einem Polynom heißt das Maximum

der Grad von .



Definition:Homogene Komponenten und homogene Polynome

Es sei ein kommutativer Ring und der Polynomring über in Variablen. Dann heißt zu einem Polynom mit die Zerlegung

mit

die homogene Zerlegung von . Die nennt man die homogenen Komponenten von zum Grad . Das Polynom selbst heißt homogen, wenn in der homogenen Zerlegung von nur ein vorkommt.



Definition:Affin-lineare Variablentransformation

Es sei ein Körper. Dann nennt man eine Abbildung der Form

wobei eine invertierbare Matrix ist, eine affin-lineare Variablentransformation.



Definition:Affin-linear äquivalent

Zwei affin-algebraische Mengen heißen affin-linear äquivalent, wenn es eine affin-lineare Variablentransformation mit

gibt.



Definition:Rationale Parametrisierung

Zwei rationale Funktionen und mit , , heißen eine rationale Parametrisierung einer algebraischen Kurve ( nicht konstant), wenn

ist und nicht konstant ist.



Definition:Rationale Kurve

Eine ebene algebraische Kurve heißt rational, wenn sie irreduzibel ist und es eine rationale Parametrisierung für sie gibt.



Definition:Homogenisierung eines Polynoms

Sei , , ein Polynom in Variablen mit der homogenen Zerlegung

und sei eine weitere Variable. Dann nennt man das homogene Polynom

vom Grad die Homogenisierung von .



Definition:Kegelschnitt

Ein Kegelschnitt ist der Durchschnitt des Standardkegels mit einer affinen Ebene (nicht alle ), also



Definition:Quadrik

Ein Polynom der Form

wobei mindestens einer der Koeffizienten ungleich null ist, heißt eine quadratische Form in zwei Variablen (über ) oder eine Quadrik in zwei Variablen. Das zugehörige Nullstellengebilde

nennt man ebenfalls Quadrik.



Definition:Noetherscher Ring

Ein kommutativer Ring heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.



Definition:Algebra von endlichem Typ

Es sei ein kommutativer Ring. Eine - Algebra heißt von endlichem Typ (oder endlich erzeugt), wenn sie die Form

besitzt.



Definition:Modul

Es sei ein kommutativer Ring und eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt einen -Modul, wenn eine Operation

(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien und beliebig):

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Definition:Untermodul

Es sei ein kommutativer Ring und ein - Modul. Eine Teilmenge heißt -Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von ist und wenn für jedes und auch ist.



Definition:Erzeugendensystem (Modul)

Es sei ein kommutativer Ring und ein - Modul. Eine Familie , , heißt Erzeugendensystem für , wenn es für jedes Element eine Darstellung

gibt, wobei endlich ist und .



Definition:Endlicher Modul

Es sei ein kommutativer Ring und ein - Modul. Der Modul heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem , , für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).



Definition:Noetherscher Modul

Es sei ein kommutativer Ring und ein - Modul. Dann heißt noethersch, wenn jeder - Untermodul von endlich erzeugt ist.



Definition:Kurze exakte Sequenz

Es sei ein kommutativer Ring und seien - Moduln. Man nennt ein Diagramm der Form

eine kurze exakte Sequenz von -Moduln, wenn ein -Untermodul von ist, und wenn ein Restklassenmodul von ist, der isomorph zu ist.



Definition:Koordinatenring

Zu einer affin-algebraischen Menge mit Verschwindungsideal nennt man den Koordinatenring von .



Definition:K-Spektrum

Zu einer kommutativen - Algebra von endlichem Typ bezeichnet man die Menge der - Algebrahomomorphismen

als das Spektrum von . Es wird mit bezeichnet.



Definition:Multiplikatives System

Es sei ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften

  1. ,
  2. Wenn , dann ist auch ,

gelten.



Definition:Nenneraufnahme

Es sei ein Integritätsbereich und sei ein multiplikatives System, . Dann nennt man den Unterring

die Nenneraufnahme zu .



Definition:Idempotentes Element

Ein Element eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn gilt.



Definition:Produktring

Es seien kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt

versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der , .



Definition:Zusammenhängender Ring

Ein kommutativer Ring heißt zusammenhängend, wenn er genau zwei idempotente Elemente (nämlich ) enthält.



Definition:Zusammenhängender topologischer Raum

Ein topologischer Raum heißt zusammenhängend, wenn es in genau zwei Teilmengen gibt (nämlich und der Gesamtraum ), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.



Definition:Algebraische Funktionen

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, eine - Algebra von endlichem Typ und sei das - Spektrum von . Es sei ein Punkt, eine Zariski-offene Menge mit und es sei eine Funktion. Dann heißt algebraisch (oder regulär oder polynomial) im Punkt , wenn es Elemente gibt mit und mit

Die Funktion heißt algebraisch (oder algebraisch auf ), wenn in jedem Punkt von algebraisch ist.



Definition:Ring der algebraischen Funktionen

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, eine - Algebra von endlichem Typ und sei das - Spektrum von . Es sei eine Zariski-offene Menge. Dann bezeichnet man mit

den Ring der algebraischen Funktionen auf . Man bezeichnet ihn auch als Strukturring zu oder als Schnittring zu .



Definition:Affine Varietät

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine - Algebra von endlichem Typ. Dann nennt man das - Spektrum von , wobei alle Zariski-offenen Mengen mit dem Ring der algebraischen Funktionen versehen seien, eine affine Varietät.



Definition:Lokaler Ring

Ein kommutativer Ring heißt lokal, wenn genau ein maximales Ideal besitzt.



Definition:Lokalisierung

Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Primideal. Dann nennt man die Nenneraufnahme an die Lokalisierung von an . Man schreibt dafür . Es ist also



Definition:Topologischer Filter

Es sei ein topologischer Raum. Ein System aus offenen Teilmengen von heißt Filter, wenn folgende Eigenschaften gelten ( seien offen).

  1. .
  2. Mit und ist auch .
  3. Mit und ist auch .


Definition:Umgebungsfilter

Es sei ein topologischer Raum und sei eine Teilmenge. Dann nennt man das System

den Umgebungsfilter von .



Definition:Gerichtete Menge

Eine geordnete Menge heißt gerichtet geordnet oder gerichtet, wenn es zu jedem ein gibt mit .



Definition:Gerichtetes System

Es sei eine geordnete Indexmenge. Eine Familie

von Mengen nennt man ein geordnetes System von Mengen, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

  1. Zu gibt es eine Abbildung .
  2. Zu und ist .

Ist die Indexmenge zusätzlich gerichtet, so spricht man von einem gerichteten System von Mengen.



Definition:Kolimes

Es sei , , ein gerichtetes System von Mengen. Dann nennt man

den Kolimes (oder induktiven Limes) des Systems. Dabei bezeichnet die Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente und als äquivalent erklärt werden, wenn es ein mit und mit

gibt.



Definition:Halm der Strukturgarbe

Es sei eine quasiaffine Varietät und sei ein topologischer Filter in . Dann nennt man

den Halm von in .



Definition:Funktionenkörper

Es sei eine irreduzible quasiaffine Varietät. Dann ist der Halm von über alle nichtleeren offenen Mengen von ein Körper, den man den Funktionenkörper von nennt.



Definition:Irreduzibler Filter

Ein topologischer Filter heißt irreduzibel, wenn und folgendes gilt: Sind zwei offene Mengen mit , so ist oder .



Definition:Morphismus

Es seien und quasiaffine Varietäten und sei

eine stetige Abbildung. Dann nennt man einen Morphismus (von quasiaffinen Varietäten), wenn für jede offene Teilmenge und jede algebraische Funktion gilt, dass die zusammengesetzte Funktion

zu gehört.



Definition:Faser

Zu einem Morphismus zwischen affinen Varietäten bezeichnet man zu einem Punkt das Urbild

als die Faser über . Als abgeschlossene Menge von ist sie selbst eine affine Varietät.



Definition:Monoidring

Es sei ein kommutatives (additiv geschriebenes) Monoid und ein kommutativer Ring. Dann wird der Monoidring wie folgt konstruiert. Als - Modul ist

d.h. ist der freie Modul mit Basis , . Die Multiplikation wird auf den Basiselementen durch

definiert und auf ganz distributiv fortgesetzt. Dabei definiert das neutrale Element das neutrale Element der Multiplikation.



Definition:Wertiger Punkt (Monoid)

Zu einem kommutativen Monoid und einem kommutativen Ring nennt man einen Monoidhomomorphismus

auch einen -wertigen Punkt von .



Definition:Differenzengruppe

Es sei ein kommutatives Monoid. Dann nennt man die Menge der formalen Differenzen

mit der Addition

und der Identifikation

die Differenzengruppe zu .



Definition:Kürzungsregel (Monoid)

Man sagt, dass in einem kommutativen Monoid die Kürzungsregel gilt (oder dass ein Monoid mit Kürzungsregel ist), wenn aus einer Gleichung

stets folgt, dass ist.



Definition:Monomiale Kurve

Eine monomiale Kurve ist das Bild der affinen Geraden unter einer Abbildung der Form

mit für alle .



Definition:Führungszahl

Es sei ein durch teilerfremde Erzeuger definiertes numerisches Monoid. Dann nennt man die minimale Zahl mit die Führungszahl von .



Definition:Numerischer Singularitätsgrad

Sei ein durch teilerfremde Erzeuger definiertes numerisches Monoid. Dann nennt man die Anzahl der Lücken, d.h. der natürlichen Zahlen , den Singularitätsgrad von , geschrieben .



Definition:Numerische Einbettungsdimension

Sei ein numerisches Monoid mit teilerfremden Erzeugern. Dann nennt man die minimale Anzahl von Elementen in einem Erzeugendensystem für die Einbettungsdimension von .



Definition:Multiplizität (numerisches Monoid)

Sei ein durch teilerfremde Erzeuger definiertes numerisches Monoid. Dann nennt man das minimale positive Element , , die Multiplizität von , geschrieben .



Definition:Ganzheitsgleichung

Es seien und kommutative Ringe und sei eine Ringerweiterung. Für ein Element heißt eine Gleichung der Form

wobei die Koeffizienten , zu gehören, eine Ganzheitsgleichung für .



Definition:Ganzes Element

Es seien und kommutative Ringe und eine Ringerweiterung. Ein Element heißt ganz (über ), wenn eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus erfüllt.



Definition:Ganzer Abschluss

Es seien und kommutative Ringe und eine Ringerweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente , die ganz über sind, den ganzen Abschluss von in .



Definition:Ganze Ringerweiterung

Es seien und kommutative Ringe und sei eine Ringerweiterung. Dann heißt ganz über , wenn jedes Element ganz über ist.



Definition:Ganz-abgeschlossen

Es seien und kommutative Ringe und eine Ringerweiterung. Man nennt ganz-abgeschlossen in , wenn der ganze Abschluss von in gleich ist.



Definition:Normal

Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.



Definition:Normalisierung

Es sei ein Integritätsbereich und sein Quotientenkörper. Dann nennt man den ganzen Abschluss von in die Normalisierung von .



Definition:Torsionsfreies Monoid

Ein kommutatives Monoid heißt torsionsfrei, wenn für aus für eine positive Zahl stets folgt.



Definition:Normalisierung von Monoiden

Es sei ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe . Dann heißt das Untermonoid

die Normalisierung von .



Definition:Diskreter Bewertungsring

Ein diskreter Bewertungsring ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in gibt.



Definition:Ordnung (diskreter Bewertungsring)

Zu einem Element , in einem diskreten Bewertungsring mit Primelement heißt die Zahl mit der Eigenschaft , wobei eine Einheit bezeichnet, die Ordnung von . Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Einbettungsdimension

Es sei ein lokaler kommutativer noetherscher Ring mit maximalem Ideal . Dann heißt die minimale Idealerzeugendenzahl für die Einbettungsdimension von , geschrieben



Definition:Glatter Punkt (ebene Kurve)

Es sei ein Körper und ein von verschiedenes Polynom. Es sei ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve. Dann heißt ein glatter Punkt von , wenn

gilt. Andernfalls heißt der Punkt singulär.



Definition:Multiplizität

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ein von verschiedenes Polynom. Es sei ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve, der (nach einer linearen Variablentransformation) der Nullpunkt sei. Es sei

die homogene Zerlegung von mit und , . Dann heißt die Multiplizität der Kurve im Punkt . Sei die Zerlegung in lineare Faktoren. Dann nennt man jede Gerade , eine Tangente an im Punkt . Die Vielfachheit von in nennt man auch die Multiplizität der Tangente.



Definition:Formale Potenzreihe

Es sei ein kommutativer Ring und eine Menge von Variablen. Eine formale Potenzreihe ist ein Ausdruck der Form

wobei für alle ist.



Definition:Potenzreihenring

Es sei ein kommutativer Ring. Dann bezeichnet man mit

den Potenzreihenring in Variablen (oder den Ring der formalen Potenzreihen in Variablen).



Definition:Einsetzen von Potenzreihen

Es sei ein Körper und eine Potenzreihe. Es sei eine weitere Potenzreihe mit konstantem Term . Dann nennt man die Potenzreihe

die eingesetzte Potenzreihe. Ihre Koeffizienten sind durch

festgelegt. Hierbei wird über alle geordneten -Tupel summiert.



Definition:Schnittmultiplizität

Es sei ein Körper und seien zwei nichtkonstante Polynome ohne gemeinsame Komponente und sei

Dann nennt man die Dimension

die Schnittmultiplizität der beiden Kurven und im Punkt . Sie wird mit

bezeichnet.



Definition:Transversaler Schnitt

Es seien und . Dann sagt man, dass sich und im Punkt transversal schneiden, wenn sowohl auf als auch auf ein glatter Punkt ist und wenn die Tangenten der beiden Kurven im Punkt verschieden sind.



Definition:Der projektive Raum

Es sei ein Körper. Der projektive -dimensionale Raum besteht aus allen Geraden des durch den Nullpunkt, wobei diese Geraden als Punkte aufgefasst werden. Ein solcher Punkt wird repräsentiert durch homogene Koordinaten , wobei nicht alle sein dürfen, und wobei zwei solche Koordinatentupel genau dann den gleichen Punkt repräsentieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander übergehen.



Definition:Projektives Nullstellengebilde zu homogenem Polynom

Es sei ein Körper. Zu einem homogenen Polynom bezeichnet man die Menge

als die projektive Nullstellenmenge zu .



Definition:Homogenes Ideal

Es sei ein Körper und ein Ideal. Das Ideal heißt homogen, wenn für jedes mit der homogener Zerlegung auch für alle homogenen Bestandteile ist.



Definition:Nullstellengebilde zu einem homogenen Ideal

Zu einem homogenen Ideal nennt man

das projektive Nullstellengebilde oder die projektive Varietät zu .



Definition:Die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum

Der projektive Raum wird mit der Zariski-Topologie versehen, bei der die Mengen zu einem homogenen Ideal als abgeschlossen erklärt werden.



Definition:Projektive Varietät

Eine projektive Varietät ist eine Zariski-abgeschlossene Teilmenge

wobei ein homogenes Ideal in ist.



Definition:Algebraische Funktion

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, eine projektive Varietät, eine offene Teilmenge und ein Punkt. Dann heißt eine Funktion

algebraisch (oder regulär oder polynomial) im Punkt , wenn es eine offene affine Umgebung

derart gibt, dass die auf die eingeschränkte Funktion algebraisch im Punkt ist. heißt algebraisch auf , wenn in jedem Punkt aus algebraisch ist.



Definition:Quasiprojektive Varietät

Eine offene Teilmenge einer projektiven Varietät zusammen mit der induzierten Zariski-Topologie und versehen mit der Strukturgarbe der algebraischen Funktionen nennt man eine quasiprojektive Varietät.



Definition:Morphismus von quasiprojektiven Varietäten

Es seien und quasiprojektive Varietäten über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei

eine stetige Abbildung. Dann nennt man einen Morphismus (von quasiprojektiven Varietäten), wenn für jede offene Teilmenge und jede algebraische Funktion gilt, dass die zusammengesetzte Funktion

zu gehört.



Definition:Homogenisierung zu einem Ideal

Zu einem Ideal heißt das Ideal in , das von allen Homogenisierungen von Elementen aus erzeugt wird, die Homogenisierung des Ideals .



Definition:Projektiver Abschluss

Zu einer affinen Varietät heißt der Zariski-Abschluss von in der projektive Abschluss von .



Definition:Projektive ebene Kurve

Eine projektive ebene Kurve ist die Nullstellenmenge zu einem homogenen nicht-konstanten Polynom .



Definition:Projektion weg von Punkt

Die Abbildung

heißt die Projektion weg vom Punkt .