Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 15/latex

\setcounter{section}{15}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass $R$ genau dann ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} ist, wenn
\mathl{a+b}{} nur dann eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist, wenn $a$ oder $b$ eine Einheit ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen. \aufzaehlungzwei {$R$ hat genau ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} } {Die Menge der \definitionsverweis {Nichteinheiten}{}{} $R \setminus R^\times$ bildet ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer}{}{} \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{.} Zeige, dass $R$ \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} mit \definitionsverweis {Restekörper}{}{} $K$. Zeige, dass $R$ und $K$ genau dann die gleiche \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} haben, wenn $R$ einen \definitionsverweis {Körper}{}{} enthält.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} und ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} von $R$. Zeige, dass \maabbdisp {} { R^{\times} } { { \left( R/ {\mathfrak a} \right) }^{\times} } {} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Unterringe}{}{} der \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{} $\Q$, die \definitionsverweis {lokal}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und $R=K[X_1 , \ldots , X_n]$. Zeige, dass sämtliche \definitionsverweis {Lokalisierungen}{}{} von $R$ an \definitionsverweis {maximalen Idealen}{}{} zueinander \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und betrachte das Achsenkreuz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V }
{ =} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[X,Y]/(XY) \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bestimme für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} ob der \definitionsverweis {lokale Ring}{}{} an $P$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Neilsche Parabel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} { V(X^2-Y^3) }
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K$. Zeige, dass sämtliche \definitionsverweis {Lokalisierungen}{}{} von $C$ an Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \neq }{(0,0) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zueinander \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind, aber nicht zur Lokalisierung im Nullpunkt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ die \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} im Nullpunkt der Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} {V(Y^2-X^2-X^3) }
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und es sei $S$ die Lokalisierung des Achsenkreuzes im Nullpunkt. Sind diese beiden \definitionsverweis {lokalen Ringe}{}{} \definitionsverweis {isomorph}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Primideal}{}{.} Zeige, dass ${\mathfrak p}$ genau dann ein \definitionsverweis {minimales Primideal}{}{} ist, wenn die \definitionsverweis {Reduktion}{}{} der \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} $R_{\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei ${\mathfrak m}$ ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} mit \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} $R_{\mathfrak m}$. Es sei ${\mathfrak a}$ ein Ideal, dass unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann $R_{\mathfrak m}$ auch eine Lokalisierung von $R/{\mathfrak a}$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $R$ eine \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Es sei $S=R_{\mathfrak m}$ die \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} von $R$ an einem \definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{} ${\mathfrak m}$. Zeige, dass der \definitionsverweis {Restekörper}{}{} von $S$ \definitionsverweis {endlich}{}{} über $K$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen. \aufzaehlungdrei{R ist \definitionsverweis {reduziert}{}{.} }{Für jedes \definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak p}}{} ist $R_{\mathfrak p}$ reduziert. }{Für jedes \definitionsverweis {maximale Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak m}}{} ist $R_{\mathfrak m}$ reduziert. }

}
{Bemerkung: Man sagt daher, dass die Reduziertheit eine lokale Eigenschaft ist.

Man gebe auch ein Beispiel für einen kommutativen Ring, der nicht integer ist, dessen Lokalisierungen an Primidealen aber alle integer sind.} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{{\mathfrak a} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann gilt, wenn für alle \definitionsverweis {Lokalisierungen}{}{} $R_{\mathfrak p}$ gilt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ {\mathfrak a} R_{\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und $R$ eine endlich erzeugte kommutative $K$-Algebra. Es seien $F_1$ und $F_2$ zwei \definitionsverweis {topologische Filter}{}{} in
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} mit
\mathl{F_1 \subseteq F_2}{.} Zeige, dass es einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {{\mathcal O}_{F_1} } { {\mathcal O}_{F_2} } {} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und $R$ eine endlich erzeugte kommutative $K$-Algebra. Es sei
\mathl{P \in K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} ein Punkt. Zeige  \zusatzklammer {ohne Satz 15.12 zu verwenden} {} {}, dass der \definitionsverweis {Halm}{}{} ${\mathcal O}_{ P }$ ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein Körper und $R$ eine integre, endlich erzeugte $K$-Algebra mit Quotientenkörper
\mathl{Q(R)}{.} Es sei $q \in Q(R)$. Zeige, dass die Menge
\mathdisp {{ \left\{ P \in K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } \mid q \in {\mathcal O}_P \right\} }} { }
offen in $K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }$ ist \zusatzklammer {dabei bezeichnet ${\mathcal O}_P$ den lokalen Ring im Punkt $P$} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien $R$ und $S$ integre, endlich erzeugte $K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} ein $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} und ${\mathfrak n}$ ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} in $S$ mit $\varphi^{-1}( {\mathfrak n}) = {\mathfrak m}$. Die Abbildung induziere einen \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} $R_{\mathfrak m} \rightarrow S_{\mathfrak n}$. Zeige, dass es dann auch ein $f \in R$, $f \not \in {\mathfrak m}$, gibt derart, dass $R_f \rightarrow S_{\varphi (f)}$ ein Isomorphismus ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $I$ eine \definitionsverweis {gerichtete Indexmenge}{}{} und sei $G_i$,
\mathl{i \in I}{,} ein \definitionsverweis {gerichtetes System}{}{} von kommutativen Gruppen. Zeige, dass der \definitionsverweis {Kolimes}{}{} eine kommutative Gruppe ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $I$ eine \definitionsverweis {gerichtete Indexmenge}{}{} und sei $M_i$,
\mathl{i \in I}{,} ein \definitionsverweis {gerichtetes System}{}{} von Mengen. Es sei $N$ eine weitere Menge und zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ \in }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei eine Abbildung \maabbdisp {\psi_i} {M_i} { N } {} mit der Eigenschaft gegeben, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi_i }
{ = }{ \psi_j \circ \varphi_{ij} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ \preccurlyeq }{ j }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {wobei $\varphi_{ij}$ die Abbildungen des Systems bezeichnen} {} {.} Beweise die universelle Eigenschaft des \definitionsverweis {Kolimes}{}{,} nämlich, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung \maabbdisp {\psi} { \operatorname{colim}\,_{i \in I} M_i } { N } {} derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi_i }
{ = }{ \psi \circ j_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, wobei
\mathl{j_i:M_i \rightarrow \operatorname{colim}\,_{i \in I} M_i}{} die natürlichen Abbildungen sind.

Zeige ferner, dass falls $M_i$ eine gerichtetes System von Gruppen und falls $N$ ebenfalls eine Gruppe ist und alle $\psi_i$ Gruppenhomomorphismen sind, dass dann auch $\psi$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{5}
{

Beschreibe die Menge $M$ aller
\mathl{2 \times 3}{-}Matrizen mit Rang $\leq 1$ über einem Körper $K$ als $K$-Spektrum einer geeigneten $K$-Algebra. Zeige, dass es eine Isomorphie zwischen einer (nicht leeren) Zariski-offenen Teilmenge von $M$ und einer offenen Menge des $\mathbb A^4_K$ gibt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Primideal}{}{.} Dann ist der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ = }{ R/{\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{Q(S) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $R_{\mathfrak p}$ ist ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} mit dem \definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak p}R_{\mathfrak p}}{.} Zeige, dass eine natürliche Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q(S) }
{ \cong} { R_{\mathfrak p}/ {\mathfrak p} R_{\mathfrak p} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} vorliegt.

}
{(Man nennt diesen Körper auch den
\definitionswortenp{Restekörper}{} zu ${\mathfrak p}$).} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein Körper und sei $R$ eine $K$-Algebra von endlichem Typ. Es seien
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} endlich viele Punkte in
\mathl{X=K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Umgebungsfilter}{}{} dieser Punkte durch offene Mengen der Form $D(f)$ erzeugt wird.

}
{D.h. es ist zu zeigen, dass es zu $P_1 , \ldots , P_n \in U$ offen stets ein $F \in R$ gibt mit $P_1 , \ldots , P_n \in D(F) \subseteq U$} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $K$ ein Körper, sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ und sei $S$ ein multiplikatives System in $R$. Zu $S$ definieren wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(S) }
{ =} { { \left\{ U \subseteq K-\operatorname{Spek} \, (R) \text{ offen} \mid \text{ es gibt } f \in S \text{ mit } D(f) \subseteq U \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mathl{F=F(S)}{} ein \definitionsverweis {topologischer Filter}{}{} ist. Zeige ferner, dass es einen Ringhomomorphismus
\mathdisp {R_S \longrightarrow \mathcal O_F} { }
gibt, der eine Isomorphie ist, falls $K$ algebraisch abgeschlossen und $R$ reduziert ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und betrachte die affine Ebene ${\mathbb A}^{2}_{K}$ zusammen mit der $x$-Achse
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V }
{ =} { V(y) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass die folgende Menge ein saturiertes multiplikatives System ist.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S }
{ =} { { \left\{ f \in K[X,Y] \mid \text{In der homogenen Komponente } f_{\deg(f)} \text{ kommt } x^{\deg(f)} \text{ vor} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Skizziere die Nullstellenmenge von einigen Polynomen, die oder die nicht zu $S$ gehören.

Es sei $F$ der zugehörige topologische Filter. Vergleiche $F$ mit dem Umgebungsfilter zu $V$ und dem generischen Filter zu $V$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathl{X=K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} eine affine Varietät und seien
\mathl{P_1 , \ldots , P_n \in X}{} endlich viele Punkte. Es sei $F$ der \definitionsverweis {Umgebungsfilter}{}{} dieser Punkte und ${\mathcal O}_F$ der zugehörige \definitionsverweis {Halm}{}{.} Zeige, dass ${\mathcal O}_F$ genau dann ein lokaler Ring ist, wenn
\mathl{n=1}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.} Auf $S$ betrachten wir folgende \zusatzklammer {partielle} {} {} \definitionsverweis {Ordnung}{}{,} und zwar sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \preccurlyeq }{g }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} falls $f$ eine Potenz von $g$ teilt. Zeige, dass die kommutativen Ringe
\mathdisp {R_f, \, f \in S} { , }
ein \definitionsverweis {gerichtetes System}{}{} bilden, und dass für den \definitionsverweis {Kolimes}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{colim}_{f \in S} R_f }
{ =} { R_S }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}