Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 28/latex
\setcounter{section}{28}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine \definitionsverweis {projektive Varietät}{}{} über ${\mathbb C}$ in der natürlichen Topologie \definitionsverweis {kompakt}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $Y$ eine \definitionsverweis {projektive Varietät}{}{} über ${\mathbb C}$, die zugleich eine \definitionsverweis {affine Varietät}{}{} sei. Zeige, dass $Y$ eine endliche Punktmenge ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.} Zeige, dass eine \definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{} mit jeder projektiven Geraden in der projektiven Ebene einen nichtleeren Durchschnitt hat.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+ { \left( X^4+Y^3Z+Z^4 \right) }
}
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {glatt}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme, ob die
\definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_+ { \left( X^4+YZ^3+Z^4 \right) }
}
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {glatt}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_+(F)
}
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über einem
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{}
$K$ genau dann
\definitionsverweis {glatt}{}{}
ist, wenn die
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
\mathdisp {\left( { \frac{ \partial F }{ \partial X } } , \, { \frac{ \partial F }{ \partial Y } } , \, { \frac{ \partial F }{ \partial Z } } \right)} { }
in keinem Punkt der Kurve simultan gleich $0$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein Körper. Bestimme den globalen Schnittring
\mathdisp {\Gamma { \left( {\mathbb P}^{1}_{K}, {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{K} } \right) }} { . }
Was folgt daraus für einen Morphismus
\maabb {} { {\mathbb P}^{1}_{K} } { {\mathbb A}^{1}_{K}
} {?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass sämtliche lokale Ringe der projektiven Geraden ${\mathbb P}^{1}_{K}$ isomorph zueinander sind. Man gebe eine möglichst einfache Beschreibung dieses Ringes.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man definiere und charakterisiere, wann eine irreduzible quasiprojektive Varietät \stichwort {normal} {} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Definiere zu jedem
\mathl{n \in \Z}{} das Potenzieren
\mathl{x \mapsto x^n}{} als Morphismus der projektiven Gerade auf sich selbst. Wie sehen die Fasern unter diesem Morphismus aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{K[X_0,X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{}
vom Grad $d$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D_+(f)
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{n}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die zugehörige offene Teilmenge des
\definitionsverweis {projektiven Raumes}{}{.}
Zeige, dass zu jedem homogenen Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h
}
{ \in }{K[X_0,X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom Grad $e$ die rationale Funktion
\mathl{{ \frac{ h }{ f^n } }}{} unter der Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e
}
{ = }{nd
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {algebraische Funktion}{}{}
\maabbdisp {{ \frac{ h }{ f^n } }} {D_+(f) } { K
} {}
definiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige durch ein Beispiel, dass die \definitionsverweis {Kegelabbildung}{}{} \maabbdisp {} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\} } {{\mathbb P}^{n}_{K} } {} nicht \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Kegelabbildung}{}{} \maabbdisp {} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\} } {{\mathbb P}^{n}_{K} } {} ein Morphismus von quasiprojektiven Varietäten ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $X$ und $Y$
\definitionsverweis {quasiprojektive Varietäten}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.}
Es sei
\mathl{Y= \bigcup_{i \in I} U_i}{} eine offene Überdeckung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann ein
\definitionsverweis {Morphismus}{}{}
ist, wenn die Einschränkungen
\mathl{\varphi_i : \varphi^{-1} (U_i) \rightarrow U_i}{} für jedes $i$ Morphismen sind
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{P,Q \in {\mathbb P}^{n}_{K}}{} Punkte im
\definitionsverweis {projektiven Raum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Zeige, dass es einen
\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} { {\mathbb P}^{n}_{K}} { {\mathbb P}^{n}_{K}
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(P)
}
{ = }{Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und ${\mathbb P}^{n}_{K}$ der zugehörige
\definitionsverweis {projektive Raum}{}{.}
Es sei
\maabb {\varphi} {K^{n+1}} { K^{n+1}
} {}
eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
\aufzaehlungvier{Zeige, dass $\varphi$ einen
\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb P}^{n}_{K}} { {\mathbb P}^{n}_{K}
} { \left( x_0 , \, x_1 , \, \ldots , \, x_n \right) } { \varphi \left( x_0 , \, x_1 , \, \ldots , \, x_n \right)
} {,}
induziert.
}{Bestimme das Urbild von
\mathl{D_+(X_i)}{} in der in (1) beschriebenen Situation. Wie sieht der Morphismus für diese affinen Mengen aus?
}{Zeige, dass
\mathkor {} {\varphi_1} {und} {\varphi_2} {}
genau dann den gleichen Automorphismus auf dem projektiven Raum induzieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar $\neq 0$ ineinander überführbar sind.
}{Induziert jede lineare Abbildung
\maabb {\varphi} {K^{n+1}} { K^{n+1}
} {}
einen Morphismus
\maabb {\varphi} { {\mathbb P}^{n}_{K}} { {\mathbb P}^{n}_{K}
} {?}
}
}
{} {}
Unter einem solchen Automorphismus wird jede projektive Varietät
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subset }{ {\mathbb P}^{n}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
isomorph auf sein Bild abgebildet, die homogenen Gleichungen transformieren sich entsprechend der affinen Situation. Dadurch kann man häufig die beschreibenden Gleichungen einer Situation vereinfachen, man spicht von einem \stichwort {projektiv-linearen Koordinatenwechsel} {.} Die vorstehende Aufgabe gibt Anlass zur folgenden Definition.
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{n \in \N}{.} Die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathdisp {\operatorname{SL}_{ n } \! { \left( K \right) } / { \left( K^{\times} \cdot
\operatorname{Id} \cap \operatorname{SL}_{ n } \! { \left( K \right) } \right) }} { }
heißt
\definitionswort {projektive spezielle lineare Gruppe}{.}
Sie wird mit
\mathdisp {\operatorname{PSL}_{ n } \! { \left( K \right) }} { }
bezeichnet.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb P}^{1}_{K} } { {\mathbb P}^{1}_{K} } {(s,t)} { (t,s) } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{}
der Hyperbel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V(XY-1)
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{}
der Parabel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V { \left( Y-X^2 \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {glatte}{}{}
\definitionsverweis {Quadrik}{}{.}
Zeige, dass auch der
\definitionsverweis {projektive Abschluss}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{C}
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
glatt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
in einer Variablen über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V(Y-F)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der zugehörige
\definitionsverweis {Graph}{}{,}
aufgefasst als
\definitionsverweis {ebene affine Kurve}{}{.}
Bestimme den
\definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{C}
}
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K
}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
des Graphen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{F,G \in K[X],\, G \neq 0}{,}
\definitionsverweis {Polynome}{}{}
in einer Variablen über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und sei
\mathl{F/G}{} die zugehörige
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Graph}{}{}
zu dieser rationalen Funktion, aufgefasst als
\definitionsverweis {ebene affine Kurve}{}{.}
Bestimme den
\definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{C}
}
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K
}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
des Graphen. Wo finden sich \anfuehrung{Asymptoten}{} im projektiven Abschluss wieder?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {ebene affine Kurve}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {projektive Abschluss}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{C}
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
zusätzliche Punkte enthält.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Ist die
\definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V_+ { \left( X^4+Z^3Y+Z^4 \right) }
}
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
isomorph zum
\definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{}
einer
\definitionsverweis {monomialen Kurve}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(H)
}
{ \subseteq }{ K[X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Homogenisierung}{}{}
des Ideals $(H)$ gleich dem von der
\definitionsverweis {Homogenisierung}{}{}
von $H$ erzeugten Hauptideal ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{} der durch
\mathdisp {V { \left( { \left( X^2+Y^2 \right) }^2- 2X { \left( X^2+Y^2 \right) } -Y^2 \right) }} { }
gegebenen
\definitionswortenp{Kardioide}{} über den komplexen Zahlen und insbesondere die \anfuehrung{Punkte im Unendlichen}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Betrachte die affine Nullstellenmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ \defeq} {V { \left( X^4+Y^2 \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{\R}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\R$.
\aufzaehlungzwei {Bestimme die Punkte von $V$ und den
\definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{}
von $V$.
} {Zeige, dass der projektive Abschluss von $V$ nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur
\definitionsverweis {Homogenisierung}{}{}
von
\mathl{X^4+Y^2}{} übereinstimmt.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Betrachte die affine Nullstellenmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ \defeq} {V { \left( X^2+Y^2+1 \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über dem Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ \Z/(2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit zwei Elementen.
\aufzaehlungdrei{Bestimme die Punkte von $V$.
}{Bestimme den
\definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{}
von $V$.
}{Zeige, dass der projektive Abschluss von $V$ nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur
\definitionsverweis {Homogenisierung}{}{}
von
\mathl{X^2+Y^2+1}{} übereinstimmt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V( {\mathfrak a} )
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {affine Varietät}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {projektive Abschluss}{}{}
von $V$ mit $V$ übereinstimmt.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Lemniscate_of_Bernoulli.svg} }
\end{center}
\bildtext {Die Lemniskate von Bernoulli} }
\bildlizenz { Lemniscate of Bernoulli.svg } {} {Zorgit} {Commons} {PD} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die durch
\mathl{V { \left( { \left( X^2+Y^2 \right) }^2-X^2+Y^2 \right) }}{} gegebene Lemniskate von Bernoulli die Singularitäten sowie die unendlich fernen Punkte in ${\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}$. Berechne in all diesen Punkten die Multiplizität und die Tangenten.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien
\mathl{m+1}{} homogene Polynome
\mathl{F_0 , \ldots , F_m}{} in
\mathl{n+1}{} Variablen gegeben, die alle den gleichen Grad $d$ besitzen. Zeige, dass es eine offene Menge
\mathl{U \subseteq {\mathbb P}^{n}_{K}}{} gibt, auf der die Polynome einen Morphismus
\mathdisp {{\mathbb P}^{n}_{K} \supseteq U \longrightarrow {\mathbb P}^{m}_{K}} { }
definieren.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme für die
\definitionsverweis {Kegelabbildung}{}{}
\maabbdisp {} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\}} {{\mathbb P}^{n}_{K}
} {}
den Zariski-Abschluss im ${\mathbb P}^{n}_{K}$ des Bildes einer abgeschlossenen Menge
\mathl{V( {\mathfrak a}) \cap { {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $X$ eine irreduzible
\definitionsverweis {quasiprojekive Varietät}{}{}
mit Funktionenkörper
\mathl{L=K(X)}{.} Es seien $U$ und
\mathbed {U_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} offene Teilmengen mit
\mathl{U=\bigcup_{i \in I} U_i}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma (U, {\mathcal O} )
}
{ =} { \bigcap_{i \in I} \Gamma (U_i, {\mathcal O} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, wobei der Durchschnitt in $L$ genommen wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und ${\mathbb P}^{n}_{K}$ der
\definitionsverweis {projektive Raum}{}{}
über $K$. Zeige, dass die Konstanten die einzigen globalen
\definitionsverweis {algebraischen Funktionen}{}{}
sind, d.h. es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma { \left( {\mathbb P}^{n}_{K} , {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{K} } \right) }
}
{ =} { K
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{Bemerkung: Diese Aussage gilt für jede zusammenhängende projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Tschirnhausen_cubic.svg} }
\end{center}
\bildtext {Die Tschirnhausen Kubik} }
\bildlizenz { Tschirnhausen cubic.svg } {} {Oleg Alexandrov} {Commons} {PD} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme für die durch
\mathl{V { \left( X^3+3X^2-Y^2 \right) }}{} gegebene
\definitionswortenp{Tschirnhausen Kubik}{} die Singularitäten unter Berücksichtigung der unendlich fernen Punkte. Bestimme die Tangenten in den Singularitäten und in den unendlich fernen Punkten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme für das durch
\mathl{V { \left( X^3+Y^3-3XY \right) }}{} definierte
Kartesische Blatt
die unendlich fernen Punkte in ${\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}$ und berechne die Multiplizität und die Tangenten in diesen Punkten.
}
{} {}
| << | Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018) | >> |
|---|