Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 28
- Übungsaufgaben
Zeige, dass eine projektive Varietät über in der natürlichen Topologie kompakt ist.
Es sei eine projektive Varietät über , die zugleich eine affine Varietät sei. Zeige, dass eine endliche Punktmenge ist.
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass eine ebene projektive Kurve mit jeder projektiven Geraden in der projektiven Ebene einen nichtleeren Durchschnitt hat.
Zeige, dass eine ebene projektive Kurve
über einem algebraisch abgeschlossenen Körper genau dann glatt ist, wenn die partiellen Ableitungen
in keinem Punkt der Kurve simultan gleich sind.
Es sei ein Körper. Bestimme den globalen Schnittring
Was folgt daraus für einen Morphismus ?
Es sei ein Körper. Zeige, dass sämtliche lokale Ringe der projektiven Geraden isomorph zueinander sind. Man gebe eine möglichst einfache Beschreibung dieses Ringes.
Man definiere und charakterisiere, wann eine irreduzible quasiprojektive Varietät normal ist.
Definiere zu jedem das Potenzieren als Morphismus der projektiven Gerade auf sich selbst. Wie sehen die Fasern unter diesem Morphismus aus?
Es sei ein homogenes Polynom vom Grad und sei
die zugehörige offene Teilmenge des projektiven Raumes. Zeige, dass zu jedem homogenen Polynom vom Grad die rationale Funktion unter der Bedingung eine algebraische Funktion
definiert.
Es seien und quasiprojektive Varietäten und sei eine stetige Abbildung. Es sei eine offene Überdeckung. Zeige, dass genau dann ein Morphismus ist, wenn die Einschränkungen für jedes Morphismen sind
Es seien Punkte im projektiven Raum über einem Körper . Zeige, dass es einen Automorphismus mit gibt.
Es sei ein Körper und der zugehörige projektive Raum. Es sei eine bijektive lineare Abbildung.
- Zeige, dass einen
Automorphismus
induziert.
- Bestimme das Urbild von in der in (1) beschriebenen Situation. Wie sieht der Morphismus für diese affinen Mengen aus?
- Zeige, dass und genau dann den gleichen Automorphismus auf dem projektiven Raum induzieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander überführbar sind.
- Induziert jede lineare Abbildung einen Morphismus ?
Unter einem solchen Automorphismus wird jede projektive Varietät
isomorph auf sein Bild abgebildet, die homogenen Gleichungen transformieren sich entsprechend der affinen Situation. Dadurch kann man häufig die beschreibenden Gleichungen einer Situation vereinfachen, man spicht von einem projektiv-linearen Koordinatenwechsel. Die vorstehende Aufgabe gibt Anlass zur folgenden Definition.
Es sei ein Körper und . Die Restklassengruppe
heißt projektive spezielle lineare Gruppe. Sie wird mit
bezeichnet.
Bestimme den projektiven Abschluss der Hyperbel
Bestimme den projektiven Abschluss der Parabel
Es sei ein Polynom in einer Variablen über einem Körper und sei der zugehörige Graph, aufgefasst als ebene affine Kurve. Bestimme den projektiven Abschluss des Graphen.
Es seien , Polynome in einer Variablen über einem Körper und sei die zugehörige rationale Funktion. Es sei der Graph zu dieser rationalen Funktion, aufgefasst als ebene affine Kurve. Bestimme den projektiven Abschluss des Graphen. Wo finden sich „Asymptoten“ im projektiven Abschluss wieder?
Ist die ebene projektive Kurve isomorph zum projektiven Abschluss einer monomialen Kurve?
Es sei ein Hauptideal. Zeige, dass die Homogenisierung des Ideals gleich dem von der Homogenisierung von erzeugten Hauptideal ist.
Bestimme den projektiven Abschluss der durch
gegebenen Kardioide über den komplexen Zahlen und insbesondere die „Punkte im Unendlichen“.
Betrachte die affine Nullstellenmenge
über .
- Bestimme die Punkte von und den projektiven Abschluss von .
- Zeige, dass der projektive Abschluss von nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur Homogenisierung von übereinstimmt.
Betrachte die affine Nullstellenmenge
über dem Körper mit zwei Elementen.
- Bestimme die Punkte von .
- Bestimme den projektiven Abschluss von .
- Zeige, dass der projektive Abschluss von nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur Homogenisierung von übereinstimmt.
Es sei ein endlicher Körper und eine affine Varietät. Zeige, dass der projektive Abschluss von mit übereinstimmt.
Bestimme für die durch gegebene Lemniskate von Bernoulli die Singularitäten sowie die unendlich fernen Punkte in . Berechne in all diesen Punkten die Multiplizität und die Tangenten.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Es seien homogene Polynome in Variablen gegeben, die alle den gleichen Grad besitzen. Zeige, dass es eine offene Menge gibt, auf der die Polynome einen Morphismus
definieren.
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei eine irreduzible quasiprojekive Varietät mit Funktionenkörper . Es seien und , , offene Teilmengen mit . Zeige, dass
ist, wobei der Durchschnitt in genommen wird.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein Körper und der projektive Raum über . Zeige, dass die Konstanten die einzigen globalen algebraischen Funktionen sind, d.h. es gilt
Bemerkung: Diese Aussage gilt für jede zusammenhängende projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme für die durch gegebene Tschirnhausen Kubik die Singularitäten unter Berücksichtigung der unendlich fernen Punkte. Bestimme die Tangenten in den Singularitäten und in den unendlich fernen Punkten.
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme für das durch definierte Kartesische Blatt die unendlich fernen Punkte in und berechne die Multiplizität und die Tangenten in diesen Punkten.
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