Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 27

Übungsaufgaben

Aufgabe

Definiere eine Äquivalenzrelation auf der Menge ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}$ derart, dass der Quotient unter der Äquivalenzrelation der projektive ${}n$-dimensionale Raum ist.

Aufgabe

Es seien ${}P=\left(a_{0},\,\ldots ,\,a_{n}\right)$ und ${}Q=\left(b_{0},\,\ldots ,\,b_{n}\right)$ Punkte im projektiven Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ über einem Körper ${}K$. Zeige, dass ${}P=Q$ genau dann gilt, wenn ${}a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}=0$ für alle ${}i,j$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}P=\left(a_{0},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ein Punkt im projektiven Raum. Zeige, dass es eine offene affine Umgebung ${}U\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ derart gibt, dass ${}P$ in diesem affinen Raum dem Nullpunkt entspricht.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der projektive Raum der Dimension ${}n$ über dem Körper ${}K$ und seien

${}D_{+}(X_{i})\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},D_{+}(X_{j})\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}\,$

zwei affine offene Teilmengen. Beschreibe die (nicht überall definierte) Übergangsabbildung von ${}D_{+}(X_{i})$ nach ${}D_{+}(X_{j})$.

Aufgabe

Man definiere den Begriff projektiv-linearer Unterraum eines projektiven Raumes ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$.

Aufgabe

Es sei ${}K={\mathbb {F} }_{q}$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen. Berechne auf zwei verschiedene Arten, wie viele Elemente der projektive Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Ideal. Zeige, dass ${}{\mathfrak {a}}$ genau dann ein homogenes Ideal ist, wenn es von homogenen Elementen erzeugt wird.

Aufgabe

Skizziere die projektive Nullstellenmenge

${}V_{+}(XYZ)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}{\mathbb {P} }_{K}^{2}$ die projektive Ebene über ${}K$. Zeige, dass zwei projektive Geraden ${}L,M\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ stets einen nichtleeren Durchschnitt besitzen.

Aufgabe *

Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden

${}L=V_{+}(6X-8Y+3Z)\,$

und

${}M=V_{+}(2X+9Y-5Z)\,$

in der projektiven Ebene.

Aufgabe

Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden

${}L=V_{+}(7X-7Y+6Z)\,$

und

${}M=V_{+}(8X+Y-4Z)\,$

in der projektiven Ebene.

Die folgenden Aufgaben besprechen die Zariski-Topologie auf den projektiven Räumen.

Aufgabe

Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum wirklich eine Topologie ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der projektive Raum. Charakterisiere die homogenen Ideale ${}{\mathfrak {a}}$, für die ${}D_{+}({\mathfrak {a}})=\emptyset$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper. Zeige, dass der projektive Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ irreduzibel ist.

Aufgabe

Es sei ${}D_{+}(L)\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}$, wobei ${}L$ eine homogene Linearform im zugehörigen Polynomring ${}K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ sei. Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum die Zariski-Topologie auf dem affinen Raum induziert.

Aufgabe *

Zeige, dass unter der Kegelabbildung

$\pi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$

die Beziehung

${}\pi ^{-1}(V_{+}({\mathfrak {a}}))=V({\mathfrak {a}})\cap {\left({{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\right)}\,$

für jedes homogene Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ gilt. Folgere daraus, dass ${}\pi$ stetig in der Zariski-Topologie ist.

Aufgabe

Es sei

${}Q=V{\left(X_{0}^{2}+X_{1}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}-1\right)}\subset {{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{n+1}}\,$

und betrachte die Gesamtabbildung

$\varphi :Q\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{n},$

wobei hinten die Kegelabbildung steht. Ist ${}\varphi$ surjektiv? Wie verhält sich ${}\varphi$ zur Einschränkung der Kegelabbildung auf die reell ${}2n+1$-dimensionale Sphäre ${}S^{2n+1}\subset \mathbb {R} ^{2n+2}\cong {\mathbb {C} }^{n+1}$?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden

${}L=V_{+}(-3X-5Y+4Z)\,$

und

${}M=V_{+}(7X+2Y-6Z)\,$

in der projektiven Ebene.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass zwei verschiedene Punkte ${}P$ und ${}Q$ in der projektiven Ebene eindeutig eine projektive Gerade definieren, auf der beide Punkte liegen. Wie berechnet man die Geradengleichung aus den Koordinaten der Punkte?

Bestimme die homogene Geradengleichung für die beiden Punkte ${}(2,3,7)$ und ${}(1,5,-2)$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ein projektiver Raum der Dimension ${}n$ und es seien ${}X,Y\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ projektiv-lineare Unterräume der Dimension ${}r$ und ${}s$. Es sei ${}r+s\geq n$. Zeige, dass dann ${}X\cap Y\neq \emptyset$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und sei ${}P_{1},\ldots ,P_{m}$ eine endliche Ansammlung von Punkten in einem projektiven Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$. Zeige: Dann gibt es eine homogene Linearform ${}L\in K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ derart, dass all diese Punkte auf der durch ${}L$ definierten offenen Teilmenge ${}D_{+}(L)$ liegen.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ oder ${}={\mathbb {C} }$. Es sei ${}H\subset {\mathbb {K} }^{n+1}$ ein ${}n$-dimensionaler affiner Unterraum, der den Nullpunkt nicht enthält, und es sei ${}{\tilde {H}}$ der dazu parallele Unterraum durch den Nullpunkt. Es sei ${}U\subseteq H$ eine in ${}H\cong {\mathbb {K} }^{n}$ offene Menge (in der metrischen Topologie) und es sei ${}V$ die Vereinigung aller Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt von ${}U$. Zeige, dass der Durchschnitt von ${}V$ mit ${}{\mathbb {K} }^{n+1}\setminus {\tilde {H}}$ offen ist.

Die nächste Aufgabe benötigt noch die folgende Definition:

Für ein homogenes Ideal ${}I$ in ${}R=A[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ mit der Standardgraduierung definiert man die Sättigung (oder Saturierung) von ${}I$ als

${\left\{r\in R\mid {\text{es existiert ein }}n{\text{ mit }}r\cdot (R_{+})^{n}\subseteq I\right\}}.$

Dabei ist ${}R_{+}$ das irrelevante Ideal ${}\bigoplus _{d\geq 1}R_{d}=(X_{0},\ldots ,X_{n})$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}A$ ein kommutativer Ring und ${}R=A[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring mit der Standardgraduierung. Zeige, dass die Sättigung eines homogenen Ideals ${}I$ wieder ein homogenes Ideal ist.