Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 26

Übungsaufgaben

Aufgabe

Man gebe für jedes ${}n$ ein Beispiel von zwei aus der Schule bekannten ebenen algebraischen Kurven, die sich in genau einem Punkt mit Schnittmultiplizität ${}n$ schneiden.

Die folgende Aufgabe fügt den äquivalenten Charakterisierungen zur Nullstellenordnung in Aufgabe 21.15 eine weitere hinzu.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}0$ und sei ${}f\in K[X]$, ${}f\neq 0$, und ${}a\in K$. Es sei ${}C=V(Y-f)$ der Graph zu ${}f$, aufgefasst als ebene algebraische Kurve. Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von ${}f$ an der Stelle ${}a$ übereinstimmen.

1. Die Verschwindungsordnung von ${}f$ an der Stelle ${}a$, also die maximale Ordnung einer formalen Ableitung mit ${}f^{(k)}(a)=0$.
2. Der Exponent des Linearfaktors ${}X-a$ in der Zerlegung von ${}f$.
3. Die Ordnung von ${}f$ an der Lokalisierung ${}K[X]_{(X-a)}$ von ${}K[X]$ am maximalen Ideal ${}(X-a)$.
4. Die Schnittmultiplizität von ${}C$ mit der ${}x$-Achse im Punkt ${}(a,0)$.

Aufgabe

Es seien ${}H_{1},H_{2}\in K[X]$ verschiedene Polynome und ${}C=V(Y-H_{1})$ und ${}D=V(Y-H_{2})$ die zugehörigen Graphen, aufgefasst als ebene algebraische Kurven in ${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}$. Es sei ${}a\in K$ ein Punkt mit

${}H_{1}(a)=H_{2}(a)=:b\,.$

Zeige, dass die Schnittmultiplizität von ${}C$ und ${}D$ im Punkt ${}(a,b)$ mit der Schnittmultiplizität des Graphen von ${}H_{1}-H_{2}$ und der ${}X$-Achse im Punkt ${}(a,0)$ übereinstimmt.

Aufgabe *

Wir betrachten die beiden Kurven ${}C=V(Y)$ und ${}D=V(Y-X^{2})$ über einem Körper ${}K$.

1. Zeige, dass der affine Koordinatenring von ${}C$ und auch der von ${}D$ in natürlicher Weise gleich ${}K[X]$ ist.
2. Bestimme die ${}K$- Dimension des Restklassenringes ${}R=K[X,Y]/(Y,Y-X^{2})$, der den Durchschnitt der beiden Kurven beschreibt.
3. Zeige, dass es Einheiten in ${}R$ gibt, die man nicht als ein Produkt von Einheiten schreiben kann, die von den beiden Koordinantenringen herrühren.

Aufgabe

Es sei eine monomiale ebene Kurven ${}C=V(X^{d}-Y^{e})$ (mit ${}d,e$ teilerfremd) gegeben. Berechne die Schnittmultiplizität der Kurve mit einer jeden Geraden ${}G$ durch den Nullpunkt.

Aufgabe

Zeige, dass sich die Schnittmultiplizität von ebenen Kurven nicht bei einer affinen Variablentransformation ändert.

Aufgabe

Es sei ${}P\in C$ ein glatter Punkt einer ebenen Kurve ${}C\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ mit der Tangente ${}G$. Zeige, dass die Schnittmultiplizität von ${}C$ und ${}G$ im Punkt ${}P$ ${}\geq 2$ ist.

Aufgabe

Berechne die Schnittmultiplizität der beiden monomialen Kurven

$C=V(X^{2}-Y^{3}){\text{ und }}D=V(X^{3}-Y^{2})$

im Nullpunkt.

Aufgabe *

Bestimme die Schnittmultiplizität im Nullpunkt des Kartesischen Blattes

${}C=V(X^{3}+Y^{3}-3XY)\,$

mit jeder affinen Geraden der affinen Ebene. Man setze voraus, dass die Charakteristik des Körpers nicht ${}3$ ist.

Man setze voraus, dass die Charakteristik des Körpers nicht ${}3$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne die Schnittmultiplizität der beiden monomialen Kurven

$C=V(X^{5}-Y^{2}){\text{ und }}D=V(X^{7}-Y^{3})$

im Nullpunkt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}C=V(F)$ und ${}D=V(G)$ ebene algebraische Kurven. Es sei ${}P\in C$ ein glatter Punkt, sodass der lokale Ring ${}R=(K[X,Y]_{\mathfrak {m}})/(F)$ ein diskreter Bewertungsring ist. Zeige, dass die Beziehung

${}\operatorname {mult} _{P}(F,G)=\operatorname {ord} \,(G)\,$

gilt, wobei ${}\operatorname {ord} \,$ die Ordnung im Bewertungsring ${}R$ bezeichnet.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Parabel ${}C=V(Y-X^{2})$ und den Kreis ${}D$ mit Mittelpunkt ${}(0,r)$ und Radius ${}r$. Bestimme die Schnittpunkte von ${}C$ und ${}D$ und die jeweiligen Schnittmultiplizitäten.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für den Restklassenring ${}{\mathbb {C} }[X,Y]/(XY-1,X^{2}+Y^{2}-a)$ (für jedes ${}a\in {\mathbb {C} }$) eine Beschreibung als Produktring von lokalen Ringen. Man gebe dabei die ${}{\mathbb {C} }$-Dimensionen der beteiligten Ringe an.

Aufgabe (8 Punkte)

Es seien zwei verschiedene monomiale ebene Kurven ${}C=V(X^{d}-Y^{e})$ und ${}D=V(X^{r}-Y^{s})$ gegeben (mit ${}d,e$ und ${}r,s$ teilerfremd). Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven im Nullpunkt.