Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 8/latex

\setcounter{section}{8}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die möglichen Durchschnitte von zwei zueinander senkrechten Zylindern.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Erstelle eine möglichst einfache Gleichung für das mechanische System, das durch die $X$-Achse, die \zusatzklammer {verschobene} {} {} Parabel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y }
{ = }{X^2+1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und den Abstand $2$ gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H_1,H_2 }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Polynome in einer Variabeln und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C_1 }
{ = }{ V(Y-H_1) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C_2 }
{ = }{ V(Y-H_2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die zugehörigen \definitionsverweis {Graphen}{}{} im
\mathl{{\mathbb A}^{2}_{K}}{.} Zeige, dass man das zugehörige \definitionsverweis {mechanische System}{}{} mit zwei Variablen beschreiben kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme Gleichungen für das \definitionsverweis {mechanische System}{}{,} das durch den Einheitskreis, die $x$-Achse und den Abstand $1$ gegeben ist. Was sind die \definitionsverweis {irreduziblen Komponenten}{}{} des Systems?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subset }{ { {\mathbb A}_{ \R }^{ 4 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein durch die beiden Bahnen \mathkor {} {B_1} {und} {B_2} {} und den Abstand $d$ gegebenes \definitionsverweis {mechanisches System}{}{.} Zeige, dass es eine natürliche \definitionsverweis {injektive}{}{} Abbildung \maabbdisp {} {M} { B_1 \times B_2 } {} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B }
{ =} {V(G) }
{ \subset} { {\mathbb A}^{2}_{\R} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Bahn, die wir als \definitionsverweis {mechanisches System}{}{} $M$ in dem Sinne auffassen, dass die beiden Punkte mit dem Abstand $d$ auf dieser einen Bahn liegen müssen. Zeige, dass es eine natürliche \definitionsverweis {fixpunktfreie}{}{} \definitionsverweis {bijektive}{}{} Abbildung \maabbdisp {} {M} {M } {} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme Gleichungen für das \definitionsverweis {mechanische System}{}{,} das durch die $x$-Achse \zusatzklammer {als gemeinsame Bahn} {} {} und den Abstand $1$ gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme Gleichungen für das \definitionsverweis {mechanische System}{}{,} das durch den \definitionsverweis {Einheitskreis}{}{} \zusatzklammer {als gemeinsame Bahn} {} {} und den Abstand $2$ gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {mechanische System}{}{,} das durch den Einheitskreis und die dazu tangentiale Gerade durch
\mathl{(0,1)}{} mit dem Koppelungsabstand
\mathl{d=2}{} definiert ist. Zeige, dass man dieses System mit zwei Variablen beschreiben kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme Gleichungen für das \definitionsverweis {mechanische System}{}{,} das durch die $x$-Achse, die $y$-Achse und den Abstand $1$ gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme Gleichungen für das \definitionsverweis {mechanische System}{}{,} das durch das Achsenkreuz \zusatzklammer {als gemeinsame Bahn} {} {} und den Abstand $1$ gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B_1 = V(F_1), B_2 = V(F_2) }
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{\R} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zwei Bahnen, und es sei ein Abstand $d$ fixiert. Vergleiche das \definitionsverweis {mechanische System}{}{} $M$ zu diesen Bahnen mit dem System $N$, das zu der einen Bahn
\mathl{B_1 \cup B_2}{} gehört. Zeige, dass es zwei natürliche injektive Abbildungen \maabbdisp {} {M} {N } {} gibt. Es sei $L_i$ das mechanische System das zu $B_i$ als alleiniger Bahn gehört. Zeige, dass es eine natürliche surjektive Abbildung der Form \maabbdisp {} {L_1 \uplus L_2 \uplus M \uplus M} {N } {} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \subset }{ { {\mathbb A}_{ \R }^{ 4 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{} ein \definitionsverweis {mechanisches System}{}{.} Zeige, dass durch \maabbeledisp {} {M} { S^1(d) } {(P_1,P_2)} { P_1-P_2 } {,} eine Abbildung des Systems auf den Kreis mit Radius $d$ gegeben ist. Was bedeutet die Surjektivität dieser Abbildung? Kann diese Abbildung nur endlich viele Bildpunkte besitzen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {mechanische System}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subset }{ { {\mathbb A}_{ \R }^{ 4 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zu zwei sich kreuzenden Geraden. Zeige, dass die Abbildung aus Aufgabe 8.13 bijektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {mechanische System}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subset }{ { {\mathbb A}_{ \R }^{ 4 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zum Einheitskreis, zum Kreis mit Mittelpunkt
\mathl{(0,2)}{} und Radius $4$ und zum Koppelungsabstand $5$. Zeige, dass die Abbildung aus Aufgabe 8.13 nicht surjektiv ist. Was ist das Bild?

}
{} {}

In den folgenden Aufgaben betrachten wir die Nullstellenmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V }
{ =} { V(f_1 , \ldots , f_k) }
{ \subset} { { {\mathbb A}_{ \R }^{ n } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} differentialgeometrisch. Wir erinnern an die folgende Definition von einem regulären Punkt zu einer differenzierbaren Abbildung aus der Analysis 2 Vorlesung. Dieser Begriff ist im jetzigen Kontext auf die Abbildung \maabbdisp {\varphi = (f_1 , \ldots , f_k)} {{ {\mathbb A}_{ \R }^{ n } } } {{ {\mathbb A}_{ \R }^{ k } } } {} in einem Punkt $P \in V$ anzuwenden.

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} \definitionsverweis {reelle Vektorräume}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {G} {W } {} eine in $P$ \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.} Dann heißt $P$ ein \definitionswort {regulärer Punkt}{} von $\varphi$, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, \left(D\varphi\right)_{P} }
{ =} { {\min { \left( \dim_{ } { \left( V \right) } , \dim_{ } { \left( W \right) } \right) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. Andernfalls heißt $P$ ein \definitionswort {kritischer Punkt}{} oder ein \definitionswort {singulärer Punkt}{.}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {mechanische System}{}{,} das durch die $x$-Achse und den Kreis mit Radius $1$ und Mittelpunkt
\mathl{(0,2)}{} gegeben ist. Der Koppelungsabstand sei $d>0$. \aufzaehlungdrei{Erstelle die Gleichungen, die dieses System beschreiben. }{Bestimme, für welche $d$ das System in jedem Punkt \definitionsverweis {regulär}{}{} ist. }{Bestimme die kritischen Punkte in Abhängigkeit von $d$. Wie kann man diese Punkte als Eigenschaft des mechanischen Systems erklären? }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {mechanische System}{}{,} das durch die $x$-Achse und den Kreis mit Radius $1$ und Mittelpunkt
\mathl{(0,2)}{} gegeben ist. Der Koppelungsabstand sei $d>0$. \aufzaehlungzwei {Begründe anschaulich und zeige, dass dieses mechanische System zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ > }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nicht \zusatzklammer {in der reellen Topologie} {} {} \definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{} ist. } {Begründe anschaulich und zeige, dass dieses mechanische System zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1 }
{ \leq }{d }
{ \leq }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{} ist. }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{6 (2+2+2)}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {mechanische System}{}{,} das durch die $x$-Achse, die Parabel
\mathl{V(Y-X^2)}{} und den Koppelungsabstand $1$ gegeben ist. \aufzaehlungdrei{Bestimme Gleichungen \zusatzklammer {in möglichst wenigen Variablen} {} {} für das mechanische System. }{Besitzt das System kritische Punkte? }{Bestimme die Gleichung für den Bewegungsvorgang zum Mittelpunkt der Verbindungsstange. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme Gleichungen für das \definitionsverweis {mechanische System}{}{,} das durch den \definitionsverweis {Einheitskreis}{}{} \zusatzklammer {als gemeinsame Bahn} {} {} und den Abstand $1$ gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6 (2+2+2)}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {mechanische System}{}{,} das durch die Parabel
\mathl{V(Y-X^2)}{,} den Kreis mit Mittelpunkt
\mathl{(0,2)}{} und Radius $1$ und den Koppelungsabstand $1$ gegeben ist. \aufzaehlungdrei{Bestimme Gleichungen \zusatzklammer {in möglichst wenigen Variablen} {} {} für dieses mechanische System. }{Bestimme die \definitionsverweis {Zusammenhangskomponenten}{}{} des Systems in der metrischen Topologie. }{Bestimme die Zusammenhangskomponenten des Systems in der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{6 (2+4)}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {mechanische System}{}{,} das durch die $x$-Achse und den Kreis mit Radius $1$ und Mittelpunkt
\mathl{(0,2)}{} gegeben ist. Der Koppelungsabstand sei $d>0$. Wir knüpfen an Aufgabe 8.16 an. \aufzaehlungzwei {Eliminiere die Variable $y_1$ aus den Gleichungen des Systems. } {Bestimme mit der einen beschreibenden Gleichung des Systems in den Variablen \mathkor {} {x_1} {und} {x_2} {,} für welche $d$ das System in jedem Punkt \definitionsverweis {regulär}{}{} ist. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei
\mathl{C \subset{ {\mathbb A}_{ \R }^{ 3 } }}{} der Schnitt von zwei Zylindern mit Radius $1$ \zusatzklammer {$C$ ist also die Vereinigung von zwei Ellipsen} {} {.} Wir betrachten die durch einen Vektor
\mathl{v=(a,b,c) \neq 0}{} definierte senkrechte Projektion \maabbdisp {p_v} { { {\mathbb A}_{ \R }^{ 3 } } } { {\mathbb A}^{2}_{\R} } {.} Man charakterisiere, in Abhängigkeit von
\mathl{a,b,c}{,} die möglichen Bilder unter diesen Projektionen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Betrachte die Abbildung \maabbeledisp {} {{\mathbb A^2_K } } {{\mathbb A^2_K } } {(x,y) } { (x^2,y^2) = (u,v) } {.} Wie sieht das Bild der Ebene und wie das Bild des Einheitskreises unter dieser Abbildung für
\mathl{K=\R}{} und wie für
\mathl{K={\mathbb C}}{} aus? Im reellen Fall, wenn der Kreis einmal durchlaufen wird, wie oft wird das Bild durchlaufen?

}
{} {}