Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 9

Übungsaufgaben

Aufgabe

Begründe, warum der Ring

$\mathbb {Z} [X,Y,Z,W]/(XY-ZW,5X^{8}-YZ^{3}+2WXY)$

noethersch ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei

${}{\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots \,$

eine aufsteigende Kette von Idealen. Zeige, dass die Vereinigung ${}\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}_{n}$ ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.

Aufgabe

Zeige, dass das Produkt ${}R\times S$ zu noetherschen Ringen ${}R$ und ${}S$ wieder noethersch ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass es in ${}K[X,Y]$ keine obere Schranke für die Anzahl der Erzeuger von Idealen (in einem minimalen Erzeugendensystem) gibt.

Tipp: Betrachte die Potenzen ${}(X,Y)^{m}$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

$K[X_{n},\,n\in \mathbb {N} ]$

der Polynomring über ${}K$ in unendlich vielen Variablen. Man beschreibe darin ein nicht endlich erzeugtes Ideal und eine unendliche, echt aufsteigende Idealkette.

Aufgabe *

Zeige, dass ein Unterring ${}R\subseteq S$ eines noetherschen Ringes nicht noethersch sein muss.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines nicht-noetherschen Ringes, dessen Reduktion ein Körper ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {b}}\subseteq R[X]$ ein Ideal, das zumindest ein normiertes Polynom enthalte. Was bedeutet dies für die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette in ${}R$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Charakterisiere diejenigen Ideale ${}{\mathfrak {b}}\subseteq R[X]$ mit der Eigenschaft, dass die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette in ${}R$ konstant ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}R=K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Bestimme zu den Idealen

${}{\mathfrak {b}}=(X,Y)^{m}\subseteq R[Y]=K[X,Y]\,$

die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette in ${}R$. Wann wird sie stationär?

Aufgabe

Bestimme zum Ideal

${}I=(6,6x^{2}+2x+3,3x^{3}+5,2x^{5}+x-4,4x^{7}-3x)\,$

in ${}\mathbb {Z} [x]$ die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette und das zugehörige Erzeugendensystem von ${}I$. Schreibe die obigen Erzeuger als Linearkombination des konstruierten Erzeugendensystems.

Aufgabe

Wir betrachten auf- und absteigende Ketten von affin-algebraischen Mengen in ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und von Idealen in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Für einen endlichen Körper wird jede aufsteigende Kette

$V_{0}\subseteq V_{1}\subseteq V_{2}\subseteq \ldots$

von affin-algebraischen Mengen stationär.

b) Für einen unendlichen Körper und ${}n\geq 1$ wird nicht jede aufsteigende Kette

$V_{0}\subseteq V_{1}\subseteq V_{2}\subseteq \ldots$

von affin-algebraischen Mengen stationär.

c) Für (einen beliebigen Körper und) ${}n\geq 1$ wird nicht jede absteigende Idealkette

${\mathfrak {a}}_{0}\supseteq {\mathfrak {a}}_{1}\supseteq {\mathfrak {a}}_{2}\supseteq \ldots$

stationär.

d) Für einen unendlichen Körper und ${}n\geq 1$ gibt es echt absteigende Ketten von affin-algebraischen Mengen beliebiger Länge.

Aufgabe

Zeige, dass die reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ mit der metrischen Topologie kein noetherscher topologischer Raum ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe. Zeige, dass ${}G$ auf genau eine Weise die Struktur eines ${}\mathbb {Z}$- Moduls trägt. Kommutative Gruppen und ${}\mathbb {Z}$-Moduln sind also äquivalente Objekte.

Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}A$ kommutative Ringe. Zeige, dass ${}A$ genau dann eine ${}R$- Algebra ist, wenn ${}A$ ein ${}R$- Modul ist, für den zusätzlich

$r(ab)=(ra)b{\text{ für alle }}r\in R,\,a,b\in A$

gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein Modul über dem kommutativen Ring ${}R$. Es seien ${}s_{1},\ldots ,s_{k}\in R$ und ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$. Zeige

${}{\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)}=\sum _{1\leq i\leq k,\,1\leq j\leq n}s_{i}\cdot v_{j}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ und ${}N$ zwei ${}R$- Moduln und sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

ein Modulhomomorphismus. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Für einen ${}R$- Untermodul ${}S\subseteq M$ ist auch das Bild ${}\varphi (S)$ ein Untermodul von ${}N$.
2. Insbesondere ist das Bild ${}\operatorname {bild} \varphi =\varphi (M)$ der Abbildung ein Untermodul von ${}N$.
3. Für einen Untermodul ${}T\subseteq N$ ist das Urbild ${}\varphi ^{-1}(T)$ ein Untermodul von ${}M$.
4. Insbesondere ist der Kern ${}\varphi ^{-1}(0)$ ein Untermodul von ${}M$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal mit dem Restklassenring

${}S=R/{\mathfrak {a}}\,.$

Zeige, dass die Ideale von ${}S$ eindeutig denjenigen Idealen von ${}R$ entsprechen, die ${}{\mathfrak {a}}$ umfassen.

Zeige, dass das Gleiche für Primideale, Radikalideale und maximale Ideale gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein noetherscher Integritätsbereich. Zeige, dass sich jedes Element aus ${}R$ als ein Produkt von irreduziblen Elementen schreiben lässt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass ${}\mathbb {Q}$ keine Algebra von endlichem Typ über ${}\mathbb {Z}$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Sei ${}K$ ein Körper und sei ${}A=K[X,Y]$. Finde eine ${}K$- Unteralgebra von ${}A$, die nicht endlich erzeugt ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme zum Ideal

${}I=(10,6x^{2}+8,4x^{3}-12)\,$

in ${}\mathbb {Z} [x]$ die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette und das zugehörige Erzeugendensystem von ${}I$. Schreibe die obigen Erzeuger als Linearkombination mit dem konstruierten Erzeugendensystem.