Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 9
- Übungsaufgaben
Es sei ein kommutativer Ring und sei
eine aufsteigende Kette von Idealen. Zeige, dass die Vereinigung ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.
Zeige, dass das Produkt zu noetherschen Ringen und wieder noethersch ist.
Es sei ein Körper. Zeige, dass es in keine obere Schranke für die Anzahl der Erzeuger von Idealen (in einem minimalen Erzeugendensystem) gibt.
Tipp: Betrachte die Potenzen .
Es sei ein Körper und sei
der Polynomring über in unendlich vielen Variablen. Man beschreibe darin ein nicht endlich erzeugtes Ideal und eine unendliche, echt aufsteigende Idealkette.
Zeige, dass ein Unterring eines noetherschen Ringes nicht noethersch sein muss.
Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal, das zumindest ein normiertes Polynom enthalte. Was bedeutet dies für die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette in .
Es sei ein kommutativer Ring. Charakterisiere diejenigen Ideale mit der Eigenschaft, dass die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette in konstant ist.
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Bestimme zu den Idealen
die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette in . Wann wird sie stationär?
Bestimme zum Ideal
in die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette und das zugehörige Erzeugendensystem von . Schreibe die obigen Erzeuger als Linearkombination des konstruierten Erzeugendensystems.
Wir betrachten auf- und absteigende Ketten von
affin-algebraischen Mengen in und von
Idealen in . Zeige die folgenden Aussagen.
a) Für einen endlichen Körper wird jede aufsteigende Kette
b) Für einen unendlichen Körper und wird nicht jede aufsteigende Kette
c) Für (einen beliebigen Körper und) wird nicht jede absteigende Idealkette
stationär.
d) Für einen unendlichen Körper und gibt es echt absteigende Ketten von affin-algebraischen Mengen beliebiger Länge.
Zeige, dass die reellen Zahlen mit der metrischen Topologie kein noetherscher topologischer Raum ist.
Es sei eine kommutative Gruppe. Zeige, dass auf genau eine Weise die Struktur eines - Moduls trägt. Kommutative Gruppen und -Moduln sind also äquivalente Objekte.
Es seien und kommutative Ringe. Zeige, dass genau dann eine - Algebra ist, wenn ein - Modul ist, für den zusätzlich
gilt.
Es sei ein Modul über dem kommutativen Ring . Es seien und . Zeige
Es sei ein kommutativer Ring, und zwei - Moduln und sei
ein Modulhomomorphismus. Zeige die folgenden Aussagen.
- Für einen - Untermodul ist auch das Bild ein Untermodul von .
- Insbesondere ist das Bild der Abbildung ein Untermodul von .
- Für einen Untermodul ist das Urbild ein Untermodul von .
- Insbesondere ist der Kern ein Untermodul von .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal mit dem Restklassenring
Zeige, dass die Ideale von eindeutig denjenigen Idealen von entsprechen, die umfassen.
Zeige, dass das Gleiche für Primideale, Radikalideale und maximale Ideale gilt.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein noetherscher Integritätsbereich. Zeige, dass sich jedes Element aus als ein Produkt von irreduziblen Elementen schreiben lässt.
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass keine Algebra von endlichem Typ über ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Sei ein Körper und sei . Finde eine - Unteralgebra von , die nicht endlich erzeugt ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme zum Ideal
in die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette und das zugehörige Erzeugendensystem von . Schreibe die obigen Erzeuger als Linearkombination mit dem konstruierten Erzeugendensystem.
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