Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 10
- Übungsaufgaben
Aufgabe *
Sei ein Körper und sei eine kommutative - Algebra, die als - Modul endlich sei. Zeige, dass ein Element genau dann eine Einheit ist, wenn es ein Nichtnullteiler ist.
Aufgabe
Es seien und Körper, sei eine endliche Körpererweiterung und sei , , ein Zwischenring. Zeige, dass dann ebenfalls ein Körper ist.
Aufgabe
Es sei eine endliche Ringerweiterung und sei . Zeige: Wenn , aufgefasst in , eine Einheit ist, dann ist eine Einheit in .
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring und ein - Modul. Dann ist genau dann noethersch, wenn jede aufsteigende Kette
von - Untermoduln stationär wird.
Aufgabe
Es sei ein Nichtnullteiler in einem kommutativen Ring . Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz
von - Moduln führt.
Aufgabe
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring und sei ein - Modul mit - Untermoduln . Zeige, dass die Restklassenmoduln durch die kurze exakte Sequenz
miteinander in Beziehung stehen.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring und sei ein - Modulhomomorphismus zwischen den - Moduln und . Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz
führt.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring und sei
eine kurze exakte Sequenz von - Moduln . Zeige, dass dies zu einer exakten Sequenz
der dualen Moduln führt.
Aufgabe
Es sei ein Körper und sei
eine kurze exakte Sequenz von - Vektorräumen . Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz
der Dualräume führt.
Aufgabe
Sei eine ganze Zahl. Wir betrachten die kurze exakte Sequenz
von - Moduln. Zeige, dass man die nach Aufgabe 10.9 exakte Sequenz
bei nicht nach rechts durch exakt fortsetzen kann.
Die folgenden Aufgaben verwenden den Begriff des artinschen Moduls, der „dual“ zum Begriff des noetherschen Moduls ist.
Es sei ein kommutativer Ring. Ein -Modul heißt artinsch, wenn jede absteigende Kette
von -Untermoduln stationär wird.
Ein kommutativer Ring heißt artinsch, wenn er als -Modul artinsch ist.
Aufgabe
Es sei ein artinscher Integritätsbereich. Man zeige, dass ein Körper ist. Man gebe ein Beispiel eines artinschen kommutativen Ringes, der kein Körper ist.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal mit dem Restklassenring . Zeige durch ein Beispiel, dass endlich erzeugt und noethersch sein kann, ohne dass noethersch ist.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring und sei
eine kurze exakte Sequenz von - Moduln. Es gebe ein - Modul-Erzeugendensystem von mit Elementen und ein -Modul-Erzeugendensystem von mit Elementen. Zeige, dass es ein -Modul-Erzeugendensystem von mit Elementen gibt.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative endliche - Algebra und ein endlicher - Modul. Zeige, dass auch ein endlicher -Modul ist.
Aufgabe *
Es sei ein kommutativer Ring und sei nicht nilpotent. Zeige, dass es ein Primideal mit gibt.
Aufgabe *
Es sei ein Radikal in einem kommutativen Ring. Zeige, dass der Durchschnitt von Primidealen ist.
Eine Möglichkeit ergibt sich aus der vorstehenden Aufgabe, eine andere aus Aufgabe 13.5 weiter unten.
Aufgabe
Es sei ein Körper und sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass nicht algebraisch über ist.
Aufgabe
Es sei ein Körper und der Quotientenkörper des Polynomrings . Es sei , , , ein Zwischenkörper. Zeige, dass eine endliche Körpererweiterung ist.
Aufgabe *
Es sei eine endlich erzeugte - Algebra und es sei ein maximales Ideal. Zeige, dass der Restklassenring ein endlicher Körper ist.
Es sei ein Körper und sei eine kommutative - Algebra. Man nennt Elemente algebraisch abhängig, wenn es ein von verschiedenes Polynom mit
gibt.
Aufgabe
Es sei der Polynomring über einem Körper . Zeige, dass die Variablen algebraisch unabhängig sind.
Aufgabe
Es sei der Polynomring über einem Körper und seien Polynome gegeben. Zeige, dass diese algebraisch abhängig sind.
Aufgabe
Aufgabe
Es sei eine kommutative - Algebra über einem Körper und seien Elemente gegeben. Zeige, dass diese Elemente genau dann algebraisch unabhängig sind, wenn die von diesen Elementen erzeugte -Algebra isomorph zum Polynomring ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass der Restklassenring
eine endliche -Algebra ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Es seien kommutative Ringe und seien und Ringhomomorphismen derart, dass endlich über und endlich über ist. Zeige, dass dann auch endlich über ist.
Aufgabe (5 Punkte)
Sei ein kommutativer Ring und sei
eine kurze exakte Sequenz von -Moduln. Man zeige, dass genau dann artinsch ist, wenn und artinsch sind.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein kommutativer Ring und , , seien -Moduln mit fixierten - Modulhomomorphismen
Die Sequenz
heißt exakt, wenn für alle gilt, dass ist.
- Zeige, dass diese Definition im Falle einer kurzen exakten Sequenz mit der Definition 10.2 in der Vorlesung übereinstimmt.
- Es sei nun ein Körper, die seien endlich erzeugt, und alle für für ein gewisses . Zeige, dass
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein kommutativer Ring und ein - Modul. Zeige: Wenn artinsch und -linear und injektiv ist, so ist ein Isomorphismus. Formuliere und beweise auch eine analoge Aussage für den Fall, das noethersch ist.
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