Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Definitionsliste
Es sei ein Körper. Eine ebene affin-algebraische Kurve über ist das Nullstellengebilde eines nicht-konstanten Polynoms in zwei Variablen, also
D.h. es ist
Der Polynomring über einem kommutativen Ring besteht aus allen Polynomen
und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel
definiert ist.
Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom eine Nullstelle in besitzt.
Es sei ein Körper. Dann nennt man den affinen Raum über der Dimension .
Es sei ein Körper und sei , , eine Familie von Polynomen in Variablen. Dann nennt man
das durch die Familie definierte Nullstellengebilde (oder Nullstellenmenge). Es wird mit bezeichnet.
Es sei ein Körper und sei der Polynomring in Variablen. Dann heißt eine Teilmenge im affinen Raum affin-algebraisch, wenn sie die Nullstellenmenge zu einer Familie , , von Polynomen ist, wenn also gilt.
In einem affinen Raum versteht man unter der Zariski-Topologie diejenige Topologie, bei der die affin-algebraischen Mengen als abgeschlossen erklärt werden.
Sei eine Teilmenge. Dann nennt man
das Verschwindungsideal zu . Es wird mit bezeichnet.
Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt Radikal (oder Radikalideal), wenn folgendes gilt: Falls ist für ein , so ist bereits .
Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal. Dann nennt man die Menge
das Radikal zu . Es wird mit bezeichnet.
Eine affin-algebraische Menge heißt irreduzibel, wenn ist und es keine Zerlegung mit affin-algebraischen Mengen gibt.
Es sei eine affin-algebraische Menge. Eine affin-algebraische Teilmenge heißt eine irreduzible Komponente von , wenn sie irreduzibel ist und wenn es keine irreduzible Teilmenge gibt.
Es sei ein Körper und der Polynomring in einer Variablen über . Dann nennt man den Quotientenkörper den rationalen Funktionenkörper über (oder Körper der rationalen Funktionen über ). Er wird mit bezeichnet.
Es sei ein kommutativer Ring und der Polynomring über in Variablen. Dann heißt zu einem Monom
die Zahl
der Grad von . Zu einem Polynom heißt das Maximum
der Grad von .
Es sei ein kommutativer Ring und der Polynomring über in Variablen. Dann heißt zu einem Polynom mit die Zerlegung
mit
die homogene Zerlegung von . Die nennt man die homogenen Komponenten von zum Grad . Das Polynom selbst heißt homogen, wenn in der homogenen Zerlegung von nur ein vorkommt.
Es sei ein Körper. Dann nennt man eine Abbildung der Form
wobei eine invertierbare Matrix ist, eine affin-lineare Variablentransformation.
Zwei affin-algebraische Mengen heißen affin-linear äquivalent, wenn es eine affin-lineare Variablentransformation mit
gibt.
Zwei rationale Funktionen und mit , , heißen eine rationale Parametrisierung einer algebraischen Kurve ( nicht konstant), wenn
ist und nicht konstant ist.
Eine ebene algebraische Kurve heißt rational, wenn sie irreduzibel ist und es eine rationale Parametrisierung für sie gibt.
Sei , , ein Polynom in Variablen mit der homogenen Zerlegung
und sei eine weitere Variable. Dann nennt man das homogene Polynom
vom Grad die Homogenisierung von .
Ein Kegelschnitt ist der Durchschnitt des Standardkegels mit einer affinen Ebene (nicht alle ), also
Ein Polynom der Form
wobei mindestens einer der Koeffizienten ungleich null ist, heißt eine quadratische Form in zwei Variablen (über ) oder eine Quadrik in zwei Variablen. Das zugehörige Nullstellengebilde
nennt man ebenfalls Quadrik.
Ein kommutativer Ring heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.
Es sei ein kommutativer Ring. Eine - Algebra heißt von endlichem Typ (oder endlich erzeugt), wenn sie die Form
besitzt.
Es sei ein kommutativer Ring und eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt einen -Modul, wenn eine Operation
(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien und beliebig):
- ,
- ,
- ,
- .
Es sei ein kommutativer Ring und ein - Modul. Eine Teilmenge heißt -Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von ist und wenn für jedes und auch ist.
Es sei ein kommutativer Ring und ein - Modul. Eine Familie , , heißt Erzeugendensystem für , wenn es für jedes Element eine Darstellung
gibt, wobei endlich ist und .
Es sei ein kommutativer Ring und ein - Modul. Der Modul heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem , , für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).
Es sei ein kommutativer Ring und ein - Modul. Dann heißt noethersch, wenn jeder - Untermodul von endlich erzeugt ist.
Es sei ein kommutativer Ring und seien - Moduln. Man nennt ein Diagramm der Form
eine kurze exakte Sequenz von -Moduln, wenn ein -Untermodul von ist, und wenn ein Restklassenmodul von ist, der isomorph zu ist.
Zu einer affin-algebraischen Menge mit Verschwindungsideal nennt man den Koordinatenring von .
Zu einer kommutativen - Algebra von endlichem Typ bezeichnet man die Menge der - Algebrahomomorphismen
als das Spektrum von . Es wird mit bezeichnet.
Es sei ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften
- ,
- Wenn , dann ist auch ,
gelten.
Es sei ein Integritätsbereich und sei ein multiplikatives System, . Dann nennt man den Unterring
die Nenneraufnahme zu .
Ein Element eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn gilt.
Es seien kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt
versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der , .
Ein kommutativer Ring heißt zusammenhängend, wenn er genau zwei idempotente Elemente (nämlich ) enthält.
Ein topologischer Raum heißt zusammenhängend, wenn es in genau zwei Teilmengen gibt (nämlich und der Gesamtraum ), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, eine - Algebra von endlichem Typ und sei das - Spektrum von . Es sei ein Punkt, eine Zariski-offene Menge mit und es sei eine Funktion. Dann heißt algebraisch (oder regulär oder polynomial) im Punkt , wenn es Elemente gibt mit und mit
Die Funktion heißt algebraisch (oder algebraisch auf ), wenn in jedem Punkt von algebraisch ist.
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, eine - Algebra von endlichem Typ und sei das - Spektrum von . Es sei eine Zariski-offene Menge. Dann bezeichnet man mit
den Ring der algebraischen Funktionen auf . Man bezeichnet ihn auch als Strukturring zu oder als Schnittring zu .
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine - Algebra von endlichem Typ. Dann nennt man das - Spektrum von , wobei alle Zariski-offenen Mengen mit dem Ring der algebraischen Funktionen versehen seien, eine affine Varietät.
Ein kommutativer Ring heißt lokal, wenn genau ein maximales Ideal besitzt.
Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Primideal. Dann nennt man die Nenneraufnahme an die Lokalisierung von an . Man schreibt dafür . Es ist also
Es sei ein topologischer Raum. Ein System aus offenen Teilmengen von heißt Filter, wenn folgende Eigenschaften gelten ( seien offen).
- .
- Mit und ist auch .
- Mit und ist auch .
Es sei ein topologischer Raum und sei eine Teilmenge. Dann nennt man das System
den Umgebungsfilter von .
Eine geordnete Menge heißt gerichtet geordnet oder gerichtet, wenn es zu jedem ein gibt mit .
Es sei eine geordnete Indexmenge. Eine Familie
von Mengen nennt man ein geordnetes System von Mengen, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
- Zu gibt es eine Abbildung .
- Zu und ist .
Ist die Indexmenge zusätzlich gerichtet, so spricht man von einem gerichteten System von Mengen.
Es sei , , ein gerichtetes System von Mengen. Dann nennt man
den Kolimes (oder induktiven Limes) des Systems. Dabei bezeichnet die Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente und als äquivalent erklärt werden, wenn es ein mit und mit
gibt.
Es sei eine quasiaffine Varietät und sei ein topologischer Filter in . Dann nennt man
den Halm von in .
Es sei eine irreduzible quasiaffine Varietät. Dann ist der Halm von über alle nichtleeren offenen Mengen von ein Körper, den man den Funktionenkörper von nennt.
Ein topologischer Filter heißt irreduzibel, wenn und folgendes gilt: Sind zwei offene Mengen mit , so ist oder .
Es seien und quasiaffine Varietäten und sei
eine stetige Abbildung. Dann nennt man einen Morphismus (von quasiaffinen Varietäten), wenn für jede offene Teilmenge und jede algebraische Funktion gilt, dass die zusammengesetzte Funktion
zu gehört.
Zu einem Morphismus zwischen affinen Varietäten bezeichnet man zu einem Punkt das Urbild
als die Faser über . Als abgeschlossene Menge von ist sie selbst eine affine Varietät.
Es sei ein kommutatives (additiv geschriebenes) Monoid und ein kommutativer Ring. Dann wird der Monoidring wie folgt konstruiert. Als - Modul ist
d.h. ist der freie Modul mit Basis , . Die Multiplikation wird auf den Basiselementen durch
definiert und auf ganz distributiv fortgesetzt. Dabei definiert das neutrale Element das neutrale Element der Multiplikation.
Zu einem kommutativen Monoid und einem kommutativen Ring nennt man einen Monoidhomomorphismus
auch einen -wertigen Punkt von .
Es sei ein kommutatives Monoid. Dann nennt man die Menge der formalen Differenzen
mit der Addition
und der Identifikation
die Differenzengruppe zu .
Man sagt, dass in einem kommutativen Monoid die Kürzungsregel gilt (oder dass ein Monoid mit Kürzungsregel ist), wenn aus einer Gleichung
stets folgt, dass ist.
Eine monomiale Kurve ist das Bild der affinen Geraden unter einer Abbildung der Form
mit für alle .
Es sei ein durch teilerfremde Erzeuger definiertes numerisches Monoid. Dann nennt man die minimale Zahl mit die Führungszahl von .
Sei ein durch teilerfremde Erzeuger definiertes numerisches Monoid. Dann nennt man die Anzahl der Lücken, d.h. der natürlichen Zahlen , den Singularitätsgrad von , geschrieben .
Sei ein numerisches Monoid mit teilerfremden Erzeugern. Dann nennt man die minimale Anzahl von Elementen in einem Erzeugendensystem für die Einbettungsdimension von .
Sei ein durch teilerfremde Erzeuger definiertes numerisches Monoid. Dann nennt man das minimale positive Element , , die Multiplizität von , geschrieben .
Es seien und kommutative Ringe und sei eine Ringerweiterung. Für ein Element heißt eine Gleichung der Form
wobei die Koeffizienten , zu gehören, eine Ganzheitsgleichung für .
Es seien und kommutative Ringe und eine Ringerweiterung. Ein Element heißt ganz (über ), wenn eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus erfüllt.
Es seien und kommutative Ringe und eine Ringerweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente , die ganz über sind, den ganzen Abschluss von in .
Es seien und kommutative Ringe und sei eine Ringerweiterung. Dann heißt ganz über , wenn jedes Element ganz über ist.
Es seien und kommutative Ringe und eine Ringerweiterung. Man nennt ganz-abgeschlossen in , wenn der ganze Abschluss von in gleich ist.
Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.
Es sei ein Integritätsbereich und sein Quotientenkörper. Dann nennt man den ganzen Abschluss von in die Normalisierung von .
Ein kommutatives Monoid heißt torsionsfrei, wenn für aus für eine positive Zahl stets folgt.
Es sei ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe . Dann heißt das Untermonoid
die Normalisierung von .
Ein diskreter Bewertungsring ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in gibt.
Zu einem Element , in einem diskreten Bewertungsring mit Primelement heißt die Zahl mit der Eigenschaft , wobei eine Einheit bezeichnet, die Ordnung von . Sie wird mit bezeichnet.
Es sei ein lokaler kommutativer noetherscher Ring mit maximalem Ideal . Dann heißt die minimale Idealerzeugendenzahl für die Einbettungsdimension von , geschrieben
Es sei ein Körper und ein von verschiedenes Polynom. Es sei ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve. Dann heißt ein glatter Punkt von , wenn
gilt. Andernfalls heißt der Punkt singulär.
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ein von verschiedenes Polynom. Es sei ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve, der (nach einer linearen Variablentransformation) der Nullpunkt sei. Es sei
die homogene Zerlegung von mit und , . Dann heißt die Multiplizität der Kurve im Punkt . Sei die Zerlegung in lineare Faktoren. Dann nennt man jede Gerade , eine Tangente an im Punkt . Die Vielfachheit von in nennt man auch die Multiplizität der Tangente.
Es sei ein kommutativer Ring und eine Menge von Variablen. Eine formale Potenzreihe ist ein Ausdruck der Form
wobei für alle ist.
Es sei ein kommutativer Ring. Dann bezeichnet man mit
den Potenzreihenring in Variablen (oder den Ring der formalen Potenzreihen in Variablen).
Es sei ein Körper und eine Potenzreihe. Es sei eine weitere Potenzreihe mit konstantem Term . Dann nennt man die Potenzreihe
die eingesetzte Potenzreihe. Ihre Koeffizienten sind durch
festgelegt. Hierbei wird über alle geordneten -Tupel summiert.
Es sei ein Körper und seien zwei nichtkonstante Polynome ohne gemeinsame Komponente und sei
Dann nennt man die Dimension
die Schnittmultiplizität der beiden Kurven und im Punkt . Sie wird mit
bezeichnet.
Es seien und . Dann sagt man, dass sich und im Punkt transversal schneiden, wenn sowohl auf als auch auf ein glatter Punkt ist und wenn die Tangenten der beiden Kurven im Punkt verschieden sind.
Es sei ein Körper. Der projektive -dimensionale Raum besteht aus allen Geraden des durch den Nullpunkt, wobei diese Geraden als Punkte aufgefasst werden. Ein solcher Punkt wird repräsentiert durch homogene Koordinaten , wobei nicht alle sein dürfen, und wobei zwei solche Koordinatentupel genau dann den gleichen Punkt repräsentieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander übergehen.
Es sei ein Körper. Zu einem homogenen Polynom bezeichnet man die Menge
als die projektive Nullstellenmenge zu .
Es sei ein Körper und ein Ideal. Das Ideal heißt homogen, wenn für jedes mit der homogener Zerlegung auch für alle homogenen Bestandteile ist.
Zu einem homogenen Ideal nennt man
das projektive Nullstellengebilde oder die projektive Varietät zu .
Der projektive Raum wird mit der Zariski-Topologie versehen, bei der die Mengen zu einem homogenen Ideal als abgeschlossen erklärt werden.
Eine projektive Varietät ist eine Zariski-abgeschlossene Teilmenge
wobei ein homogenes Ideal in ist.
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, eine projektive Varietät, eine offene Teilmenge und ein Punkt. Dann heißt eine Funktion
algebraisch (oder regulär oder polynomial) im Punkt , wenn es eine offene affine Umgebung
derart gibt, dass die auf die eingeschränkte Funktion algebraisch im Punkt ist. heißt algebraisch auf , wenn in jedem Punkt aus algebraisch ist.
Eine offene Teilmenge einer projektiven Varietät zusammen mit der induzierten Zariski-Topologie und versehen mit der Strukturgarbe der algebraischen Funktionen nennt man eine quasiprojektive Varietät.
Es seien und quasiprojektive Varietäten über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei
eine stetige Abbildung. Dann nennt man einen Morphismus (von quasiprojektiven Varietäten), wenn für jede offene Teilmenge und jede algebraische Funktion gilt, dass die zusammengesetzte Funktion
zu gehört.
Zu einem Ideal heißt das Ideal in , das von allen Homogenisierungen von Elementen aus erzeugt wird, die Homogenisierung des Ideals .
Zu einer affinen Varietät heißt der Zariski-Abschluss von in der projektive Abschluss von .
Eine projektive ebene Kurve ist die Nullstellenmenge zu einem homogenen nicht-konstanten Polynom .
Die Abbildung
heißt die Projektion weg vom Punkt .