Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Liste der Hauptsätze

???: Schnitt einer ebenen Kurve mit Geraden

Es sei ${}C$ eine ebene affin-algebraische Kurve und sei ${}L$ eine Gerade in ${}K^{2}$. Dann ist der Durchschnitt ${}C\cap L$ die ganze Gerade, oder er besteht nur aus endlich vielen Punkten.

 

???: Der Fundamentalsatz der Algebra

Der Körper ${}\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen.

 

???: Eigenschaften von affin-algebraischen Mengen

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in ${}n$ Variablen und sei ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ der zugehörige affine Raum. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}V(0)={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$, d.h. der ganze affine Raum ist eine affin-algebraische Menge.
2. Es ist ${}V(1)=\emptyset$, d.h. die leere Menge ist eine affin-algebraische Menge.
3. Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{k}$ affin-algebraische Mengen mit ${}V_{i}=V({\mathfrak {a}}_{i})$. Dann gilt

   ${}V_{1}\cup V_{2}\cup \ldots \cup V_{k}=V({\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2}\cdots {\mathfrak {a}}_{k})\,.$

   Insbesondere ist die Vereinigung von endlich vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.

4. Es seien ${}V_{i}$, ${}i\in I$, affin-algebraische Mengen mit ${}V_{i}=V({\mathfrak {a}}_{i})$. Dann gilt

   ${}\bigcap _{i\in I}V_{i}=V{\left(\sum _{i\in I}{\mathfrak {a}}_{i}\right)}\,.$

   Insbesondere ist der Durchschnitt von beliebig vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.

 

???: Zariski-Abschluss

Sei ${}T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine Teilmenge. Dann ist der Zariski-Abschluss von ${}T$ gleich

${}{\overline {T}}=V(\operatorname {Id} \,(T))\,.$

 

???: Irreduzible Teilmenge und Verschwindungsideale

Es sei ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge mit Verschwindungsideal ${}\operatorname {Id} \,(V)$.

Dann ist ${}V$ genau dann irreduzibel, wenn ${}\operatorname {Id} \,(V)$ ein Primideal ist.

 

???: Noethersche Normalisierung (Kurven)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ ein nichtkonstantes Polynom vom Grad ${}d$, das die algebraische Kurve ${}C=V(F)$ definiert.

Dann gibt es eine lineare Koordinatentransformation derart, dass in den neuen Koordinaten ${}{\tilde {X}},{\tilde {Y}}$ das transformierte Polynom die Form

${}{\tilde {F}}={\tilde {X}}^{d}+{\text{ Terme von kleinerem Grad in }}{\tilde {X}}\,$

besitzt.

 

???: Anzahl der Punkte auf Kurve

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ ein nicht-konstantes Polynom, das die algebraische Kurve ${}C=V(F)$ definiert. Dann besitzt ${}C$ unendlich viele Elemente.

 

???: Restklassenringe zu affin-linear äquivalenten Varietäten

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V,{\tilde {V}}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ zwei affin-algebraische Teilmengen, die affin-linear äquivalent seien. Es seien ${}\operatorname {Id} \,(V),\operatorname {Id} \,({\tilde {V}})$ die zugehörigen Verschwindungsideale.

Dann sind die Restklassenringe (als ${}K$-Algebren) isomorph, also

${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,(V)\cong K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,({\tilde {V}})\,.$

 

???: Bild unter polynomialer Abbildung

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und

$\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{r}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$

sei eine durch ${}n$ Polynome in ${}r$ Variablen gegebene Abbildung.

Dann ist der Zariski-Abschluss des Bildes der Abbildung irreduzibel.

 

???: Durchschnitt von ebenen Kurven

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}F,G\in K[X,Y]$ zwei Polynome ohne gemeinsamen nichtkonstanten Faktor.

Dann gibt es nur endlich viele Punkte ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ mit ${}P_{i}\in V(F,G)$.

 

???: Polynomiale Parametrisierung einer Kurve

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}P,Q\in K[T]$ zwei Polynome.

Dann gibt es ein Polynom ${}F\in K[X,Y]$, ${}F\neq 0$, mit ${}F(Q,P)=0$. D.h. das Bild einer polynomial parametrisierten Kurve liegt in einer ebenen algebraischen Kurve ${}C=V(F)$.

Wenn ${}K$ unendlich ist und ${}(P,Q)$ nicht beide konstant sind, so ist der Zariski-Abschluss des Bildes eine irreduzible Kurve ${}C$.

 

???: Rationale Abbildung

Es seien zwei rationale Funktionen ${}\varphi _{1}={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}$ und ${}\varphi _{2}={\frac {P_{2}}{Q_{2}}}$ mit ${}P_{1},P_{2},Q_{1},Q_{2}\in K[T]$, ${}Q_{1},Q_{2}\neq 0$, gegeben, die nicht beide konstant seien.

Dann gibt es ein nichtkonstantes Polynom ${}F\in K[X,Y]$ mit

${}F(\varphi _{1}(T),\varphi _{2}(T))=0\,.$

Das bedeutet, dass ${}\varphi _{1}$ und ${}\varphi _{2}$ eine rationale Parametrisierung definieren.

 

???: Parametrisierung von Quadriken

Es sei ${}C=V(F)$ eine Quadrik in zwei Variablen, also

${}F=\alpha X^{2}+\beta XY+\gamma Y^{2}+\delta X+\epsilon Y+\eta \,$

(mit ${}\alpha$, ${}\beta$, ${}\gamma$ nicht alle ${}0$). Es sei vorausgesetzt, dass es mindestens einen Punkt auf der Quadrik gibt.

Dann gibt es Polynome ${}P_{1},P_{2},Q\in K[T]$, ${}Q\neq 0$, derart, dass das Bild der rationalen Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\supseteq D(Q)\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,{\text{ mit }}t\longmapsto \left({\frac {P_{1}(t)}{Q(t)}},{\frac {P_{2}(t)}{Q(t)}}\right)$

in ${}C$ liegt.

Besitzt ${}C$ zumindest zwei Punkte, so ist die Abbildung nicht konstant und bis auf endlich viele Ausnahmen injektiv.

Ist ${}C$ zusätzlich irreduzibel, so ist die Abbildung bis auf endlich viele Ausnahmen surjektiv. Insbesondere ist eine irreduzible Quadrik mit mindestens zwei Punkten eine rationale Kurve.

 

???: Noethersch mit Idealketten

Für einen kommutativen Ring ${}R$ sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist noethersch.
2. Jede aufsteigende Idealkette

   ${\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots$

   wird stationär, d.h. es gibt ein ${}n$ mit ${}{\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{n+1}=\ldots$.

 

???: Der Hilbertsche Basissatz

Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring.

Dann ist auch der Polynomring ${}R[X]$ noethersch.

 

???: Irreduzible Komponenten

Sei ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge.

Dann gibt es eine eindeutige Zerlegung ${}V=V_{1}\cup \ldots \cup V_{k}$ mit irreduziblen Mengen ${}V_{i}$ mit ${}V_{i}\not \subseteq V_{j}$ für ${}i\neq j$.

 

???: Kurze exakte Sequenz von noetherschen Moduln

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und

$0\longrightarrow M_{1}\longrightarrow M\longrightarrow M_{3}\longrightarrow 0$

eine kurze exakte Sequenz von ${}R$-Moduln.

Dann ist ${}M$ genau dann noethersch, wenn sowohl ${}M_{1}$ als auch ${}M_{3}$ noethersch sind.

 

???: Endlich erzeugte Moduln über noetherschen Ringen

Es sei ${}R$ ein noetherscher kommutativer Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul.

Dann ist ${}M$ ein noetherscher Modul.

 

???: Der Hilbertsche Nullstellensatz

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, die (als ${}K$-Algebra) endlich erzeugt sei.

Dann ist ${}L$ endlich über ${}K$.

 

???: Maximale Ideale unter Homomorphismen

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}A$ und ${}B$ zwei ${}K$-Algebren von endlichem Typ. Es sei ${}\varphi \colon A\rightarrow B$ ein ${}K$- Algebrahomomorphismus.

Dann ist für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ aus ${}B$ auch das Urbild ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {m}})$ ein maximales Ideal.

 

???: Radikal und maximale Ideale

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}A$ eine ${}K$-Algebra von endlichem Typ.

Dann ist jedes Radikal in ${}A$ der Durchschnitt von maximalen Idealen.

 

???: Maximale Ideale bei algebraisch abgeschlossenem Körper

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}A$ eine endlich erzeugte ${}K$- Algebra.

Dann ist jeder Restklassenkörper von ${}A$ isomorph zu ${}K$.

Anders formuliert: Jedes maximale Ideal in ${}A$ ist ein Punktideal.

 

???: Der Hilbertsche Nullstellensatz

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ beschrieben werde. Es sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom, das auf ${}V$ verschwindet.

Dann gehört ${}F$ zum Radikal von ${}{\mathfrak {a}}$, d.h. es gibt ein ${}r\in \mathbb {N}$ mit ${}F^{r}\in {\mathfrak {a}}$.

 

???: Radikale und affin-algebraische Mengen

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper mit dem Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und dem affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.

Dann gibt es eine natürliche Korrespondenz zwischen affin-algebraischen Mengen in ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und Radikalidealen in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.

Dabei gehen Radikale auf ihre Nullstellengebilde und affin-algebraische Mengen auf ihre Verschwindungsideale.

 

???: Überdeckung und Einheitsideal

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}F_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, ${}i\in I$, Polynome mit

${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=\bigcup _{i\in I}D(F_{i})\,.$

Dann erzeugen die ${}F_{i}$ das Einheitsideal in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.

 

???: Koordinatenring des affinen Raumes

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper.

Dann ist das Verschwindungsideal des affinen Raumes ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ das Nullideal und der zugehörige Koordinatenring ist der Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.

 

???: Affiner Raum und Einsetzungshomomorphismen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in ${}n$ Variablen.

Dann stehen die ${}K$- Algebrahomomorphismen von ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ nach ${}K$ in natürlicher Weise in Bijektion mit den Punkten aus dem affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K^{n}$,

und zwar entspricht dem Punkt ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})$ der Einsetzungshomomorphismus ${}X_{i}\mapsto a_{i}$. Mit anderen Worten,

${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,.$

 

???: K-Spektrum und ${}V({\mathfrak {a}})$

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}R$ eine endlich erzeugte kommutative ${}K$- Algebra mit ${}K$- Spektrum ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$. Es sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine Restklassendarstellung von ${}R$ mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus

$\varphi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow R$

und dem Nullstellengebilde ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.

Dann stiftet die Abbildung

$K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,P\longmapsto P\circ \varphi$

eine Bijektion zwischen ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und ${}V({\mathfrak {a}})$, die bezüglich der Zariski-Topologie ein Homöomorphismus ist.

 

???: Stetigkeit der Spektrumsabbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}R$ und ${}S$ kommutative ${}K$- Algebren von endlichem Typ. Es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein ${}K$- Algebrahomomorphismus.

Dann induziert dies eine Abbildung

$\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)},\,P\longmapsto P\circ \varphi .$

Diese Abbildung ist stetig bezüglich der Zariski-Topologie.

 

???: ${}D(f)$ und ${}R_{f}$

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}R$ eine endlich erzeugte ${}K$- Algebra, ${}f\in R$.

Dann ist die Zariski-offene Menge ${}D(f)\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ in natürlicher Weise homöomorph zu ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{f}\right)}$.

 

???: Globaler Schnittring

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${}R$ eine reduzierte ${}K$- Algebra von endlichem Typ und sei ${}V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das ${}K$- Spektrum von ${}R$.

Dann ist

${}\Gamma (V,{\mathcal {O}})=R\,.$

 

???: Schnittring zu D(f)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${}R$ eine reduzierte ${}K$- Algebra von endlichem Typ und sei ${}V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das ${}K$- Spektrum von ${}R$. Es sei ${}F\in R$ mit zugehöriger offener Menge ${}D(F)\subseteq V$.

Dann ist

${}\Gamma (D(F),{\mathcal {O}})=R_{F}\,.$

 

???: Halm und Lokalisierung

Es sei ${}R$ eine reduzierte kommutative Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$. Es sei ${}P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ ein Punkt im ${}K$- Spektrum mit zugehörigem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}\subseteq R$.

Dann gibt es eine natürliche Isomorphie (von ${}R$-Algebren)

$R_{\mathfrak {m}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{P}.$

 

???: Durchschnitt von lokalen Ringen

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}R$ eine integre ${}K$- Algebra von endlichem Typ. Sei ${}U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ eine offene Teilmenge.

Dann ist

${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})=\bigcap _{P\in U}{\mathcal {O}}_{P}\,$

(dabei wird der Durchschnitt im Quotientenkörper genommen).

 

???: Algebraische Funktion im integren Fall

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${}R$ eine integre ${}K$- Algebra von endlichem Typ, und sei ${}U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ eine offene nicht-leere Teilmenge.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten injektiven ${}R$- Algebrahomomorphismus

$\Gamma (U,{\mathcal {O}})\longrightarrow Q(R).$

Insbesondere ist jede auf einer nicht-leeren offenen Menge ${}U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ definierte algebraische Funktion ein Element im Quotientenkörper ${}Q(R)$.

 

???: Ringhomomorphismus und Morphismus

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}R$ und ${}S$ kommutative ${}K$- Algebren vom endlichen Typ mit zugehörigen ${}K$- Spektren ${}X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und ${}Y=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}$.

Dann ist die durch einen ${}K$- Algebrahomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ induzierte Spektrumsabbildung

$\varphi ^{*}\colon Y\longrightarrow X$

ein Morphismus.

 

???: Algebraische Funktion und Morphismus auf affine Gerade

Es sei ${}U$ eine quasiaffine Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ und sei ${}f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ eine algebraische Funktion.

Dann definiert ${}f$ einen Morphismus

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}\cong K.$

 

???: Charakterisierung der Morphismen in eine affine Varietät

Es sei ${}U$ eine quasiaffine Varietät, und zwar sei ${}U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$, wobei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossener Körper ${}K$ sei. Es sei ${}S$ eine weitere kommutative ${}K$-Algebra von endlichem Typ.

Dann gibt es eine natürliche Bijektion

$\operatorname {Mor} \,(U,K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)})\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(S,\Gamma (U,{\mathcal {O}})\right)},\,{\psi }\longmapsto {\tilde {\psi }},$

wobei ${}{\tilde {\psi }}$ den zu ${}{\psi }$ gehörigen globalen Ringhomomorphismus bezeichnet.

 

???: Universelle Eigenschaft der Monoidringe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}M$ ein kommutatives Monoid. Es sei ${}B$ eine kommutative ${}R$-Algebra und

$\varphi \colon M\longrightarrow B$

ein Monoidhomomorphismus (bezüglich der multiplikativen Struktur von ${}B$).

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten ${}R$- Algebrahomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon R[M]\longrightarrow B$

derart, dass das Diagramm

${\begin{matrix}M&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R[M]&\\&\searrow &\downarrow &\\&&B&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.

 

???: Funktorialität im Monoid von Monoidringen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Es seien ${}M$ und ${}N$ kommutative Monoide und sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

ein Monoidhomomorphismus.

Dann induziert dies einen ${}R$- Algebrahomomorphismus zwischen den zugehörigen Monoidringen

${\tilde {\varphi }}\colon R[M]\longrightarrow R[N],\,X^{m}\longmapsto X^{\varphi (m)}.$

 

???: Injektivität und Surjektivität zwischen Monoidringen

Es sei ${}R$ ein von ${}0$ verschiedener kommutativer Ring. Es seien ${}M$ und ${}N$ kommutative Monoide und sei ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein Monoidhomomorphismus.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann injektiv (surjektiv), wenn der zugehörige ${}R$- Algebrahomomorphismus ${}{\tilde {\varphi }}\colon R[M]\rightarrow R[N]$ injektiv (surjektiv) ist.

 

???: Erzeugendensysteme für Monoide und Monoidringe

Es sei ${}R$ ein von ${}0$ verschiedener kommutativer Ring. Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid und $m_{i}\in M,\,i\in I$, eine Familie von Elementen aus ${}M$.

Dann bilden die ${}m_{i}$ genau dann ein Monoid-Erzeugendensystem für ${}M$, wenn die $X^{m_{i}},\,i\in I$, ein ${}R$-Algebra-Erzeugendensystem für den Monoidring ${}R[M]$ bilden.

 

???: Funktorialität im Ring von Monoidringen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}S$ eine ${}R$- Algebra. Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid.

Dann gibt es einen natürlichen ${}R$- Algebrahomomorphismus

$R[M]\longrightarrow S[M],\,\sum _{m\in M}a_{m}X^{m}\longmapsto \sum _{m\in M}a_{m}X^{m},$

(die Koeffizienten aus ${}R$ werden also einfach in ${}S$ aufgefasst).

 

???: Numerisches Monoid:Für großes n?

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein numerisches Monoid, das von teilerfremden natürlichen Zahlen ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$ erzeugt sei.

Dann gibt es zu jedem ${}m\in \mathbb {N}$ eine Darstellung

$m=a_{1}e_{1}+\cdots +a_{n}e_{n}{\text{ mit }}0\leq a_{i}<e_{i+1}{\text{ für }}1\leq i\leq n-1.$

Für ${}m$ hinreichend groß kann man zusätzlich noch ${}a_{n}\geq 0$ erreichen, sodass es dann eine Darstellung mit nichtnegativen Koeffizienten gibt.

 

???: Monomiale Kurvenabbildung

Sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein durch teilerfremde natürliche Zahlen ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$ erzeugtes Untermonoid.

Dann ist die monomiale Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}$

eine Bijektion.

 

???: Standard-Erzeugendensystem für numerisches Monoid

Sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein numerisches Monoid mit teilerfremden Erzeugern, und es sei ${}M_{+}={\left\{m\in M\mid m\geq 1\right\}}$ und ${}M_{+}+M_{+}={\left\{m+m'\mid m,m'\in M_{+}\right\}}$.

Dann ist

$M_{+}\setminus (M_{+}+M_{+})$

ein Erzeugendensystem für ${}M$, und jedes andere Erzeugendensystem enthält dieses.

 

???: Gleichungen für monomiale Kurven

Es sei ${}M\subseteq N$ ein durch teilerfremde Elemente ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$ erzeugtes Untermonoid und sei ${}\mathbb {N} ^{n}\rightarrow M$ die zugehörige surjektive Abbildung mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus ${}\varphi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\rightarrow K[M]$.

Dann wird das Kernideal durch

$\ker \varphi ={\left(\prod _{i\in I_{1}}X_{i}^{r_{i}}-\prod _{i\in I_{2}}X_{i}^{s_{i}}:\,I_{1},I_{2}\subseteq \{1,\ldots ,n\}{\text{ disjunkt }},\sum _{i\in I_{1}}r_{i}e_{i}=\sum _{i\in I_{2}}s_{i}e_{i}\right)}\,$

(mit $r_{i},s_{i}\geq 1$) beschrieben.

 

???: Charakterisierung von ganzen Elementen

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Für ein Element ${}x\in S$ sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}x$ ist ganz über ${}R$.
2. Es gibt eine ${}R$-Unteralgebra ${}T$ von ${}S$ mit ${}x\in T$ und die ein endlicher ${}R$-Modul ist.
3. Es gibt einen endlichen ${}R$-Untermodul ${}M$ von ${}S$, der einen Nichtnullteiler aus ${}S$ enthält, mit ${}xM\subseteq M$.

 

???: Der ganze Abschluss

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung.

Dann ist der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}S$ eine ${}R$-Unteralgebra von ${}S$.

 

???: Normalität faktorieller Bereiche

Es sei ${}R$ ein faktorieller Integritätsbereich.

Dann ist ${}R$ normal.

 

???: Integrität von Monoidringen

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei ${}M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid, das die Kürzungsregel erfüllt.

Dann ist der Monoidring ${}R[M]$ ein Integritätsbereich.

 

???: Normalisierung von Monoidringen

Es sei ${}M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe ${}\Gamma (M)$ und mit Normalisierung ${}{\tilde {M}}$, ${}M\subseteq {\tilde {M}}\subseteq \Gamma (M)$. Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich.

Dann ist die Normalisierung des Monoidringes ${}R[M]$ der Monoidring ${}R[{\tilde {M}}]$.

Insbesondere ist der Monoidring zu einem normalen Monoid über einem normalen Ring selbst wieder normal.

 

???: Normalisierung von monomialen Kurven

Sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein durch teilerfremde ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$ erzeugtes Untermonoid, und ${}K[M]\subseteq K[T]$ die zugehörige Ringerweiterung von Monoidringen.

Dann ist ${}K[T]$ die Normalisierung von ${}K[M]$.

Mit anderen Worten: Die monomiale Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}$

ist eine Normalisierung.

 

???: Charakterisierungssatz für diskrete Bewertungsringe

Es sei ${}R$ ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale ${}0\subset {\mathfrak {m}}$ gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist ein diskreter Bewertungsring.
2. ${}R$ ist ein Hauptidealbereich.
3. ${}R$ ist faktoriell.
4. ${}R$ ist normal.
5. ${}{\mathfrak {m}}$ ist ein Hauptideal.

 

???: Lemma von Nakayama

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring und sei ${}V$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul. Es sei ${}{\mathfrak {m}}V=V$ vorausgesetzt.

Dann ist ${}V=0$.

 

???: Modulerzeuger und Erzeuger mod ${}{\mathfrak {m}}$

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}},K)$ ein lokaler Ring und sei ${}V$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul.

Dann stimmt die minimale Erzeugendenzahl ${}\mu (V)$ mit der Dimension des ${}K$- Vektorraums ${}V/{\mathfrak {m}}V$ überein.

 

???: Einbettungsdimension und Kotangentialraum

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}},K)$ ein noetherscher lokaler Ring.

Dann ist die Einbettungsdimension gleich

${}\mu ({\mathfrak {m}})=\dim _{K}{\left({\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\right)}\,.$

 

???: Einbettungsdimension und numerische Einbettungsdimension

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}M$ ein numerisches Monoid, das von teilerfremden natürlichen Zahlen erzeugt sei. Es sei ${}R=K[M]$ der zugehörige Monoidring mit dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {n}}=(M_{+})$ und der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {n}}$.

Dann ist die numerische Einbettungsdimension von ${}M$ (bzw. $K[M]$) gleich der Einbettungsdimension des lokalen Rings ${}R_{\mathfrak {n}}$.

 

???: Intrinsische Charakterisierung der Multiplizität

Sei ${}P\in V=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein Punkt auf einer ebenen affinen Kurve. Es sei ${}R={\mathcal {O}}_{V,P}$ der zugehörige lokale Ring mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}$.

Dann gilt für die Multiplizität ${}m_{P}$ von ${}P$ die Gleichung

$m_{P}=\dim _{K}{\left({\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}\right)}{\text{ für }}n{\text{ hinreichend groß}}.$

 

???: Glattheit und Normalität

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ nichtkonstant ohne mehrfachen Faktor mit zugehöriger algebraischer Kurve ${}C=V(F)$. Es sei ${}P=(a,b)\in C$ ein Punkt der Kurve mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(X-a,Y-b)$ und mit lokalem Ring ${}R=(K[X,Y]_{\mathfrak {m}})/(F)$.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}P$ ist ein glatter Punkt der Kurve.
2. Die Multiplizität von ${}P$ ist eins.
3. ${}R$ ist ein diskreter Bewertungsring.
4. ${}R$ ist ein normaler Integritätsbereich.

 

???: Hilbert-Samuel Multiplizität und numerische Multiplizität

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein von teilerfremden Zahlen erzeugtes numerisches Monoid mit numerischer Multiplizität ${}e_{1}$. Es sei ${}{\mathfrak {m}}=(M_{+})$ das maximale Ideal des Monoidringes ${}K[M]$, das dem Nullpunkt entspricht.

Dann gilt

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\dim _{K}{\left(K[M]/{\mathfrak {m}}^{n}\right)}}{n}}=e_{1}\,.$

Das heißt, dass die numerische Multiplizität mit der Hilbert-Samuel Multiplizität übereinstimmt.

 

???: Tangente unter Parametrisierung

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und

$\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$

eine durch ${}n$ Polynome ${}\varphi =\left(\varphi _{1}(t),\,\ldots ,\,\varphi _{n}(t)\right)$ in einer Variablen gegebene Abbildung, deren Bild in der Kurve ${}C=V(F_{1},\ldots ,F_{m})$ liege. Es sei ${}P=\varphi (Q)\in C$.

Dann liegt der (Ableitungs)-Vektor ${}{\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial t}}(Q),\ldots ,{\frac {\partial \varphi _{n}}{\partial t}}(Q)\right)}$ im Kern der durch die Jacobi-Matrix

${\left({\frac {\partial F_{i}}{\partial X_{j}}}(P)\right)}_{ij}$

definierten linearen Tangentialabbildung

$(TF)_{P}\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}.$

Ist ${}n=2$ und verschwinden nicht beide partiellen Ableitungen von ${}\varphi$ und ist ${}P$ ein glatter Punkt von ${}C$, so definiert der Vektor ${}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial t}}(Q),\,{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial t}}(Q)\right)$ die Richtung der Tangente von ${}C$ in ${}P$.

 

???: Potenzreihen und Einheiten

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[\![T]\!]$ der Ring der formalen Potenzreihen in einer Variablen.

Dann ist eine formale Potenzreihe ${}F={\sum }_{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}$ genau dann eine Einheit, wenn der konstante Term ${}a_{0}\neq 0$ ist.

 

???: Potenzreihenring in einer Variablen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R=K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring in einer Variablen.

Dann ist ${}R$ ein diskreter Bewertungsring.

 

???: Einsetzen von Potenzreihen

Es sei ${}K$ ein Körper mit dem Potenzreihenring ${}K[\![T]\!]$. Es sei ${}G\in K[\![S]\!]$ eine Potenzreihe mit konstantem Term ${}0$.

Dann definiert ${}G$ durch Einsetzen einen ${}K$- Algebrahomomorphismus

$K[\![T]\!]\longrightarrow K[\![S]\!],\,F\longmapsto F(G).$

 

???: Automorphismen auf Potenzreihenring

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring über ${}K$ und ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$ mit $b_{0}=0$ und $b_{1}\neq 0$.

Dann definiert der durch ${}T\mapsto G$ definierte Einsetzungshomomorpismus einen ${}K$- Algebraautomorphismus auf ${}K[\![T]\!]$.

 

???: Notwendige Tangentenbedingung für Potenzreihenlösung

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ ein Polynom mit homogener Zerlegung ${}F=F_{m}+\cdots +F_{d}$ mit ${}d\geq m\geq 1$ und ${}F_{m}\neq 0$. Es sei

${}F_{m}=\prod _{\lambda =1}^{m}(u_{\lambda }X+v_{\lambda }Y)\,$

die Faktorzerlegung in Linearfaktoren (diese Linearfaktoren definieren also die Tangenten von $C=V(F)$ an $P=(0,0)$). Es seien

$G=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}{\text{ und }}H=\sum _{\ell =0}^{\infty }b_{\ell }T^{\ell }\in K[\![T]\!]$

Potenzreihen, die eine Lösung der Kurvengleichung ${}F=0$ durch den Nullpunkt beschreiben (d.h. $a_{0}=b_{0}=0$).

Dann ist ${}u_{\lambda }a_{1}+v_{\lambda }b_{1}=0$ für ein ${}\lambda$, d.h. der lineare Term der Potenzreihen ist durch eine der Tangenten vorgegeben.

 

???: Hinreichende Tangentenbedingung für Potenzreihenlösung

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ ein Polynom ${}\neq 0$ mit ${}(0,0)\in C=V(F)$ und sei ${}F=F_{d}+\cdots +F_{m}$ die homogene Zerlegung von ${}F$ mit ${}d\geq m$ und mit ${}F_{m}\neq 0$. Es sei ${}uX+vY$ ein einfacher Linearfaktor von ${}F_{m}$ (also ein lineares Polynom, das eine Tangente mit Multiplizität ${}1$ definiert).

Dann gibt es Potenzreihen

$G=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n},\,H=\sum _{\ell =0}^{\infty }b_{\ell }T^{\ell }\in K[\![T]\!]$

mit

${}F(G,H)=0$ und mit konstantem Term ${}a_{0},b_{0}=0$ und mit ${}a_{1}u+b_{1}v=0$.

Dabei kann eine der Potenzreihen als ein lineares Polynom gewählt werden.

 

???: Schnittmultiplizität und Multiplizität

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei ${}F=F_{m}+\cdots +F_{d}\in K[X,Y]$, ${}m\leq d$, ein Polynom in homogener Zerlegung und ${}L=V(aX+bY)$ eine Gerade durch den Nullpunkt ${}P$, die keine Komponente von ${}V(F)$ sei.

Dann ist

${}\operatorname {mult} _{P}(L,V(F))\geq m_{P}\,(F)=m\,,$

d.h. die Schnittmultiplizität einer Kurve mit einer Geraden ist mindestens so groß wie die Multiplizität der Kurve im Schnittpunkt.

Wenn ${}L$ keine Tangente der Kurve ist, so gilt hierbei Gleichheit.

 

???: Schnittmultiplizität und transversaler Schnitt

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsame Komponente. Es sei

${}P\in V(F,G)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$

ein Schnittpunkt.

Dann schneiden sich $V(F)$ und $V(G)$ in ${}P$ genau dann transversal, wenn die Schnittmultiplizität ${}\operatorname {mult} _{P}(V(F),V(G))=1$ ist.

 

???: Kurvenschnitt und Produktring

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsamen Primteiler. Es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ die endlich vielen Punkte aus ${}V(F,G)$ mit den zugehörigen maximalen Idealen ${}{\mathfrak {m}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {m}}_{n}$ in ${}K[X,Y]$.

Dann gibt es eine kanonische Isomorphie

${}K[X,Y]/(F,G)\cong (K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{1}})/(F,G)\times \cdots \times (K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{n}})/(F,G)\,.$

 

???: Summe der Schnittmultiplizitäten

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsamen Primteiler.

Dann ist

${}\dim _{K}{\left(K[X,Y]/(F,G)\right)}=\sum _{P}\operatorname {mult} _{P}(F,G)\,.$

 

???: Projektiver Abschluss

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\cong D_{+}(X_{0})$ eine affine Varietät.

Dann wird der projektive Abschluss von ${}V({\mathfrak {a}})$ in ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ durch ${}V_{+}({\mathfrak {b}})$ beschrieben,

wobei ${}{\mathfrak {b}}$ die Homogenisierung von ${}{\mathfrak {a}}$ in ${}K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ bezeichnet.

 

???: Noethersche Normalisierung für projektive Kurven

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine ebene projektive Kurve vom Grad ${}d$.

Dann gibt es einen surjektiven Morphismus

$C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

derart, dass alle Fasern aus maximal ${}d$ Punkten bestehen.

 

???: Fortsetzung von rationalen Funktionen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine glatte irreduzible ebene projektive Kurve. Es sei ${}D=C\cap D_{+}(Z)\cong K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ ein affines Teilstück davon. Es sei ${}q=g/h\in Q(R)$ eine rationale Funktion (mit $g,h\in R,\,h\neq 0$).

Dann gibt es einen eindeutigen Morphismus

$\varphi \colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

derart, dass das Diagramm

${\begin{matrix}D(h)&{\stackrel {g/h}{\longrightarrow }}&{\mathbb {A} }_{K}^{1}\cong D_{+}(s)&\\\downarrow &&\downarrow &\\C&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{K}^{1}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.

 

???: Projektive Parametrisierung

Es sei

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\supseteq D(\psi )\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,s\longmapsto {\left({\frac {\varphi _{1}(s)}{\psi (s)}},{\frac {\varphi _{2}(s)}{\psi (s)}}\right)},$

eine rationale Parametrisierung in gekürzter (d.h. die $\varphi _{1},\varphi _{2},\psi$ haben keinen gemeinsamen Teiler) Darstellung. Es sei ${}d$ der maximale Grad der beteiligten Polynome und es seien ${}{\hat {\varphi _{1}}},{\hat {\varphi _{2}}},{\hat {\psi }}$ die Homogenisierungen (bezüglich der neuen Variablen ${}t$) davon. Es seien ${}H_{i}$ die Produkte dieser Homogenisierungen mit einer Potenz von ${}t$ derart, dass ${}H_{1},H_{2},H_{3}$ alle den Grad ${}d$ besitzen.

Dann definieren die ${}H_{1},H_{2},H_{3}$ einen Morphismus

$H\colon {\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{2},\,(s,t)\longmapsto \left(H_{1}(s,t),\,H_{2}(s,t),\,H_{3}(s,t)\right),$

derart, dass das Diagramm

${\begin{matrix}{\mathbb {A} }_{K}^{1}\supseteq D(\psi )&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\mathbb {A} }_{K}^{2}\cong D_{+}(Z)&\\\downarrow &&\downarrow &\\{\mathbb {P} }_{K}^{1}&{\stackrel {H}{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{K}^{2}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutativ ist.

Dabei liegt das Bild unter ${}H$ auf dem projektiven Abschluss der affinen Bildkurve.

 

???: Der Satz von Bezout

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}F,G\in K[X,Y,Z]$ homogene Polynome vom Grad ${}m$ und ${}n$ ohne gemeinsame Komponente mit zugehörigen Kurven ${}C=V_{+}(F),D=V_{+}(G)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$.

Dann gilt

${}\sum _{P}\operatorname {mult} _{P}(C,D)=mn\,.$