Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/1/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	${}\sum$
Punkte	3	3	10	10	2	3	3	6	4	9	5	7	65

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
2. Der Faserring zu einem Ringhomomorphismus über einem Primideal.
3. Ein (ganzer) Zahlbereich.
4. Der Hauptdivisor zu einem Element ${}q\neq 0$ des Quotientenkörpers eines Dedekindbereiches.
5. Die Zerlegungsgruppe zu einer Galoiserweiterung von Dedekindbereichen.
6. Ein System von Fundamentaleinheiten in einem Zahlbereich.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die additive Struktur von Zahlbereichen.
2. Der Chinesische Restsatz für Dedekindbereiche.
3. Der Dirichletsche Einheitensatz.

Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.

Aufgabe (10 Punkte)

Erläutern Sie anhand Ihres Lieblingsbeispiels wesentliche Konzepte der algebraischen Zahlentheorie.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass man ${}{\sqrt {3}}$ nicht als ${}\mathbb {Q}$- Linearkombination von ${}1$ und ${}{\sqrt {2}}$ schreiben kann.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein lokaler Ring und ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal von ${}R$. Zeige, dass

$R^{\times }\longrightarrow {\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}^{\times }$

surjektiv ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Finde ganze Zahlen ${}a,b,c,d,e,f$ derart, dass die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}6&10&15\\a&b&c\\d&e&f\end{pmatrix}}$

gleich ${}1$ ist.

Aufgabe * (6 (4+1+1) Punkte)

1. Zeige, dass in ${}\mathbb {Z} [X]$ die Ideale ${}{\left(X^{4}-7,X^{3}-5\right)}$ und ${}(X+55,282)$ übereinstimmen.
2. Bestimme die Norm des Ideals ${}(X^{3}-5)$ im Zahlbereich ${}\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}-7\right)}$.
3. Bestimme die Norm des Ideals ${}(X^{4}-7)$ im Zahlbereich ${}\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-5\right)}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R=\mathbb {R} [X,Y]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1\right)}$. Zeige, dass alle Primideale von ${}R$ der Form ${}(X-a,Y-b)$ mit ${}a,b\in \mathbb {R}$ die gleiche Divisorklasse festlegen.

Aufgabe * (9 (1+1+2+3+2) Punkte)

1. Zeige, dass das Polynom ${}X^{3}+X+1$ in ${}\mathbb {Z} [X]$ irreduzibel ist.
2. Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}X^{3}+X+1$ in ${}\mathbb {Z} /(3)[X]$.
3. Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}X^{3}+X+1$ in ${}\mathbb {Z} /(31)[X]$.
4. Man finde eine positive Zahl ${}n$ derart, dass für alle Primzahlen ${}p$, die ${}n$ nicht teilen, der Faserring ${}\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{3}+X+1\right)}$ reduziert ist.
5. Bestimme, ob ${}\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}+X+1\right)}$ ein Zahlbereich ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq M$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}T$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}M$. Es sei ${}N\subseteq G$ ein Normalteiler von ${}G$ mit Restklassengruppe ${}H=G/N$ und es sei ${}S=T^{N}$ und ${}L=M^{N}$ der zugehörige Zwischenring bzw. Zwischenkörper, auf dem ${}H$ galoissch operiert mit Fixring ${}R$ bzw. Fixkörper ${}K$. Es sei ${}{\mathfrak {r}}$ ein Primideal von ${}T$ über ${}{\mathfrak {q}}$ in ${}S$. Zeige, dass zwischen den Zerlegungsgruppen ein natürlicher surjektiver Gruppenhomomorphismus

$G_{\mathfrak {r}}\longrightarrow H_{\mathfrak {q}}$

besteht, dessen Kern gleich ${}N\cap G_{\mathfrak {r}}$ ist.

Aufgabe * (7 (2+3+1+1) Punkte)

1. Bestimme für den 15. Kreisteilungskörper ${}R_{15}=\mathbb {Q} [X]/{\left(\Phi _{15}\right)}$ mit

   ${}\Phi _{15}=X^{8}-X^{7}+X^{5}-X^{4}+X^{3}-X+1\,$

   das Minimalpolynom für ${}Y=X+X^{-1}=X+X^{14}$.

2. Es sei ${}S=\mathbb {Z} [Y]\subseteq R_{15}$ der von ${}Y$ erzeugte Unterring. Bestimme die Ringautomorphismen von ${}S$.
3. Ist ${}Y$ eine Einheit in ${}S$?
4. Beschreibe die Einheitengruppe von ${}S$.