Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 16/latex
\setcounter{section}{16}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Q[X]/(X^n -q)
}
{ \cong} { \Q[Y]/(Y^n -a^nq)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine natürliche Zahl. Bestimme für die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[X]/(X^3-q)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und ein Element
\mathl{a+bx+cx^2}{} die
\definitionsverweis {Multiplikationsmatrix}{}{}
bezüglich der
$\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
$1,x,x^2$, das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{,}
die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
und die
\definitionsverweis {Spur}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $b$ eine
\definitionsverweis {quadratfreie}{}{}
Zahl $\geq 2$. Zeige, dass
\mathl{\Z[X]/(X^3-b^2)}{} nicht
\definitionsverweis {normal}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{ \Q[X]/(X^3-q)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme die Anzahl der reellen und die Anzahl der komplexen Einbettungen von $L$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Analysiere die Fasern über $(p)$ zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $R$ der
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
zur kubischen Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{ \Q[X]/(X^3-5)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ der
\definitionsverweis {Ganzheitsring}{}{}
zur kubischen Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{\Q[X]/(X^3-q)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Faser über $(3)$ aus mehr als einem Punkt bestehen kann.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $q$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{ \pm 1 \mod 9
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { \Z[x,z]
}
{ \subseteq} { \Q[X]/ { \left( X^3-q \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{ { \frac{ 1+qx+x^2 }{ 3 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der zugehörige kubische
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{,}
siehe
Korollar 16.2.
Bestimme Darstellungen für $x^2,xz,z^2$ bezüglich der
\definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{}
$1,x,z$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
\definitionsverweis {teilerfremde}{}{}
\definitionsverweis {quadratfreie}{}{}
natürliche Zahlen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ \pm b \mod 9
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ \sqrt[3]{ab^2}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{ \sqrt[3]{a^2b}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{ { \frac{ 1+ax+x^2 }{ 3 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme eine
\definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{}
des zugehörigen Zahlbereichs zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{ \Q[X]/(X^3-ab^2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Form $1,z,w$.
Drücke \mathkor {} {x} {und} {y} {} durch die neue Basis aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ der \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} zu einer kubischen Erweiterung. Zeige, dass $R$ eine Restklassenbeschreibung mit \zusatzklammer {maximal} {} {} drei Variablen und drei Gleichungen besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien $a,b$ verschiedene
\definitionsverweis {quadratfreie}{}{}
Zahlen $\neq 1$, die beide den Rest $1$ modulo $4$ haben. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ { \frac{ 1+\sqrt{a} }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{ { \frac{ 1+\sqrt{b} }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{ { \frac{ 1+\sqrt{ab} }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu $\Z[x,y]$ gehört.
}
{} {}